Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31271 / 39501
↖ ↑ ↗
← S 34.655804°
W  8.223267°		 ← 502.48 m → S 34.655804°
W  8.217773°		 →
↑
502.48 m
↓
↑
502.48 m
↓
S 34.660323°
W  8.223267°		 ← 502.45 m →
252 478 m²		 S 34.660323°
W  8.217773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477165222167969 y=0.602745056152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477165222167969 × 216)
    floor (0.477165222167969 × 65536)
    floor (31271.5)     		tx = 31271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602745056152344 × 216)
    floor (0.602745056152344 × 65536)
    floor (39501.5)     		ty = 39501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31271 / 39501 ti = "16/31271/39501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31271/39501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31271 ÷ 216
    31271 ÷ 65536     		x = 0.477157592773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39501 ÷ 216
    39501 ÷ 65536     		y = 0.602737426757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477157592773438 × 2 - 1) × π
    -0.045684814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14352308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602737426757812 × 2 - 1) × π
    -0.205474853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.645518290283676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14352308} λ = -0.14352308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.645518290283676))-π/2
    2×atan(0.524390685065327)-π/2
    2×0.482969221870643-π/2
    0.965938443741286-1.57079632675     		φ = -0.60485788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14352308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.223267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60485788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.655804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31271 KachelY 39501 -0.14352308 -0.60485788 -8.223267 -34.655804
    Oben rechts KachelX + 1 31272 KachelY 39501 -0.14342720 -0.60485788 -8.217773 -34.655804
    Unten links KachelX 31271 KachelY + 1 39502 -0.14352308 -0.60493675 -8.223267 -34.660323
    Unten rechts KachelX + 1 31272 KachelY + 1 39502 -0.14342720 -0.60493675 -8.217773 -34.660323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60485788--0.60493675) × R
    7.88700000000642e-05 × 6371000     		dl = 502.480770000409m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60485788--0.60493675) × R
    7.88700000000642e-05 × 6371000     		dr = 502.480770000409m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14352308--0.14342720) × cos(-0.60485788) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.822582921791898 × 6371000     		do = 502.475995199267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14352308--0.14342720) × cos(-0.60493675) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.822538070188444 × 6371000     		du = 502.448597530916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60485788)-sin(-0.60493675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.822582921791898-0.822538070188444)×R²
    abs(-0.14342720--0.14352308)×4.48516034544655e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.48516034544655e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.48516034544655e-05×40589641000000     		ar = 252477.641704735m²