Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31270 / 39502
↖ ↑ ↗
← S 34.660323°
W  8.228760°		 ← 502.40 m → S 34.660323°
W  8.223267°		 →
↑
502.35 m
↓
↑
502.35 m
↓
S 34.664840°
W  8.228760°		 ← 502.37 m →
252 374 m²		 S 34.664840°
W  8.223267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477149963378906 y=0.602760314941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477149963378906 × 216)
    floor (0.477149963378906 × 65536)
    floor (31270.5)     		tx = 31270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602760314941406 × 216)
    floor (0.602760314941406 × 65536)
    floor (39502.5)     		ty = 39502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31270 / 39502 ti = "16/31270/39502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31270/39502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31270 ÷ 216
    31270 ÷ 65536     		x = 0.477142333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39502 ÷ 216
    39502 ÷ 65536     		y = 0.602752685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477142333984375 × 2 - 1) × π
    -0.04571533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14361895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602752685546875 × 2 - 1) × π
    -0.20550537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.645614164082916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14361895} λ = -0.14361895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.645614164082916))-π/2
    2×atan(0.52434041214803)-π/2
    2×0.482929790870679-π/2
    0.965859581741358-1.57079632675     		φ = -0.60493675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14361895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.228760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60493675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.660323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31270 KachelY 39502 -0.14361895 -0.60493675 -8.228760 -34.660323
    Oben rechts KachelX + 1 31271 KachelY 39502 -0.14352308 -0.60493675 -8.223267 -34.660323
    Unten links KachelX 31270 KachelY + 1 39503 -0.14361895 -0.60501560 -8.228760 -34.664840
    Unten rechts KachelX + 1 31271 KachelY + 1 39503 -0.14352308 -0.60501560 -8.223267 -34.664840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60493675--0.60501560) × R
    7.88499999999637e-05 × 6371000     		dl = 502.353349999769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60493675--0.60501560) × R
    7.88499999999637e-05 × 6371000     		dr = 502.353349999769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14361895--0.14352308) × cos(-0.60493675) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.822538070188444 × 6371000     		do = 502.396193630492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14361895--0.14352308) × cos(-0.60501560) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.822493224843909 × 6371000     		du = 502.368802642509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60493675)-sin(-0.60501560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.822538070188444-0.822493224843909)×R²
    abs(-0.14352308--0.14361895)×4.48453445351937e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.48453445351937e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.48453445351937e-05×40589641000000     		ar = 252373.531051047m²