Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31270 / 38301
↖ ↑ ↗
← S 29.060971°
W  8.228760°		 ← 533.89 m → S 29.060971°
W  8.223267°		 →
↑
533.95 m
↓
↑
533.95 m
↓
S 29.065773°
W  8.228760°		 ← 533.87 m →
285 067 m²		 S 29.065773°
W  8.223267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477149963378906 y=0.584434509277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477149963378906 × 216)
    floor (0.477149963378906 × 65536)
    floor (31270.5)     		tx = 31270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584434509277344 × 216)
    floor (0.584434509277344 × 65536)
    floor (38301.5)     		ty = 38301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31270 / 38301 ti = "16/31270/38301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31270/38301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31270 ÷ 216
    31270 ÷ 65536     		x = 0.477142333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38301 ÷ 216
    38301 ÷ 65536     		y = 0.584426879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477142333984375 × 2 - 1) × π
    -0.04571533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14361895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584426879882812 × 2 - 1) × π
    -0.168853759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.530469731195541
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14361895} λ = -0.14361895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530469731195541))-π/2
    2×atan(0.588328548489157)-π/2
    2×0.531793345960685-π/2
    1.06358669192137-1.57079632675     		φ = -0.50720963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14361895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.228760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50720963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.060971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31270 KachelY 38301 -0.14361895 -0.50720963 -8.228760 -29.060971
    Oben rechts KachelX + 1 31271 KachelY 38301 -0.14352308 -0.50720963 -8.223267 -29.060971
    Unten links KachelX 31270 KachelY + 1 38302 -0.14361895 -0.50729344 -8.228760 -29.065773
    Unten rechts KachelX + 1 31271 KachelY + 1 38302 -0.14352308 -0.50729344 -8.223267 -29.065773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50720963--0.50729344) × R
    8.38100000000175e-05 × 6371000     		dl = 533.953510000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50720963--0.50729344) × R
    8.38100000000175e-05 × 6371000     		dr = 533.953510000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14361895--0.14352308) × cos(-0.50720963) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.874103303358374 × 6371000     		do = 533.891607407883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14361895--0.14352308) × cos(-0.50729344) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.8740625904133 × 6371000     		du = 533.866740438951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50720963)-sin(-0.50729344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874103303358374-0.8740625904133)×R²
    abs(-0.14352308--0.14361895)×4.07129450735733e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.07129450735733e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.07129450735733e-05×40589641000000     		ar = 285066.658999086m²