Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31270 / 19834
↖ ↑ ↗
← N 57.721752°
W  8.228760°		 ← 326.18 m → N 57.721752°
W  8.223267°		 →
↑
326.20 m
↓
↑
326.20 m
↓
N 57.718819°
W  8.228760°		 ← 326.21 m →
106 403 m²		 N 57.718819°
W  8.223267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477149963378906 y=0.302650451660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477149963378906 × 216)
    floor (0.477149963378906 × 65536)
    floor (31270.5)     		tx = 31270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302650451660156 × 216)
    floor (0.302650451660156 × 65536)
    floor (19834.5)     		ty = 19834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31270 / 19834 ti = "16/31270/19834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31270/19834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31270 ÷ 216
    31270 ÷ 65536     		x = 0.477142333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19834 ÷ 216
    19834 ÷ 65536     		y = 0.302642822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477142333984375 × 2 - 1) × π
    -0.04571533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14361895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302642822265625 × 2 - 1) × π
    0.39471435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.24003171937161
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14361895} λ = -0.14361895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24003171937161))-π/2
    2×atan(3.45572307638871)-π/2
    2×1.28911548024874-π/2
    2.57823096049748-1.57079632675     		φ = 1.00743463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14361895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.228760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00743463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.721752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31270 KachelY 19834 -0.14361895 1.00743463 -8.228760 57.721752
    Oben rechts KachelX + 1 31271 KachelY 19834 -0.14352308 1.00743463 -8.223267 57.721752
    Unten links KachelX 31270 KachelY + 1 19835 -0.14361895 1.00738343 -8.228760 57.718819
    Unten rechts KachelX + 1 31271 KachelY + 1 19835 -0.14352308 1.00738343 -8.223267 57.718819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00743463-1.00738343) × R
    5.120000000014e-05 × 6371000     		dl = 326.195200000892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00743463-1.00738343) × R
    5.120000000014e-05 × 6371000     		dr = 326.195200000892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14361895--0.14352308) × cos(1.00743463) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.534031405881222 × 6371000     		do = 326.179851508149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14361895--0.14352308) × cos(1.00738343) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.534074692970806 × 6371000     		du = 326.206290733066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00743463)-sin(1.00738343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534031405881222-0.534074692970806)×R²
    abs(-0.14352308--0.14361895)×4.3287089584787e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.3287089584787e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.3287089584787e-05×40589641000000     		ar = 106402.614096283m²