Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 3127 / 7172
↖ ↑ ↗
← N 21.861499°
W111.291504°		 ← 2 267.52 m → N 21.861499°
W111.269531°		 →
↑
2 267.69 m
↓
↑
2 267.69 m
↓
N 21.841105°
W111.291504°		 ← 2 267.84 m →
5 142 397 m²		 N 21.841105°
W111.269531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.190887451171875 y=0.437774658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.190887451171875 × 214)
    floor (0.190887451171875 × 16384)
    floor (3127.5)     		tx = 3127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.437774658203125 × 214)
    floor (0.437774658203125 × 16384)
    floor (7172.5)     		ty = 7172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3127 / 7172 ti = "14/3127/7172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3127/7172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3127 ÷ 214
    3127 ÷ 16384     		x = 0.19085693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7172 ÷ 214
    7172 ÷ 16384     		y = 0.437744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.19085693359375 × 2 - 1) × π
    -0.6182861328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.94240317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.437744140625 × 2 - 1) × π
    0.12451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.391165100899658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.94240317} λ = -1.94240317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.391165100899658))-π/2
    2×atan(1.47870262839507)-π/2
    2×0.976175729559947-π/2
    1.95235145911989-1.57079632675     		φ = 0.38155513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.94240317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.291504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38155513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.861499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3127 KachelY 7172 -1.94240317 0.38155513 -111.291504 21.861499
    Oben rechts KachelX + 1 3128 KachelY 7172 -1.94201968 0.38155513 -111.269531 21.861499
    Unten links KachelX 3127 KachelY + 1 7173 -1.94240317 0.38119919 -111.291504 21.841105
    Unten rechts KachelX + 1 3128 KachelY + 1 7173 -1.94201968 0.38119919 -111.269531 21.841105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38155513-0.38119919) × R
    0.000355939999999999 × 6371000     		dl = 2267.69373999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38155513-0.38119919) × R
    0.000355939999999999 × 6371000     		dr = 2267.69373999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.94240317--1.94201968) × cos(0.38155513) × R
    0.000383489999999931 × 0.928086683304752 × 6371000     		do = 2267.51511105181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.94240317--1.94201968) × cos(0.38119919) × R
    0.000383489999999931 × 0.928219163829304 × 6371000     		du = 2267.83878942878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38155513)-sin(0.38119919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928086683304752-0.928219163829304)×R²
    abs(-1.94201968--1.94240317)×0.000132480524551837×R²
    0.000383489999999931×0.000132480524551837×6371000²
    0.000383489999999931×0.000132480524551837×40589641000000     		ar = 5142396.87869377m²