Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3127 / 3033
↖ ↑ ↗
← S 65.109148°
E 94.833984°		 ← 4 113.36 m → S 65.109148°
E 94.921875°		 →
↑
4 110.51 m
↓
↑
4 110.51 m
↓
S 65.146115°
E 94.833984°		 ← 4 107.64 m →
16 896 240 m²		 S 65.146115°
E 94.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7635498046875 y=0.7406005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7635498046875 × 212)
    floor (0.7635498046875 × 4096)
    floor (3127.5)     		tx = 3127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7406005859375 × 212)
    floor (0.7406005859375 × 4096)
    floor (3033.5)     		ty = 3033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3127 / 3033 ti = "12/3127/3033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3127/3033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3127 ÷ 212
    3127 ÷ 4096     		x = 0.763427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3033 ÷ 212
    3033 ÷ 4096     		y = 0.740478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763427734375 × 2 - 1) × π
    0.52685546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65516527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740478515625 × 2 - 1) × π
    -0.48095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51097107602417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65516527} λ = 1.65516527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51097107602417))-π/2
    2×atan(0.220695561700375)-π/2
    2×0.217213658743341-π/2
    0.434427317486682-1.57079632675     		φ = -1.13636901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65516527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.833984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13636901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.109148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3127 KachelY 3033 1.65516527 -1.13636901 94.833984 -65.109148
    Oben rechts KachelX + 1 3128 KachelY 3033 1.65669925 -1.13636901 94.921875 -65.109148
    Unten links KachelX 3127 KachelY + 1 3034 1.65516527 -1.13701420 94.833984 -65.146115
    Unten rechts KachelX + 1 3128 KachelY + 1 3034 1.65669925 -1.13701420 94.921875 -65.146115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13636901--1.13701420) × R
    0.000645190000000184 × 6371000     		dl = 4110.50549000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13636901--1.13701420) × R
    0.000645190000000184 × 6371000     		dr = 4110.50549000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65516527-1.65669925) × cos(-1.13636901) × R
    0.00153398000000005 × 0.420890983048449 × 6371000     		do = 4113.36192897562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65516527-1.65669925) × cos(-1.13701420) × R
    0.00153398000000005 × 0.420305636393538 × 6371000     		du = 4107.64134397253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13636901)-sin(-1.13701420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420890983048449-0.420305636393538)×R²
    abs(1.65669925-1.65516527)×0.000585346654910612×R²
    0.00153398000000005×0.000585346654910612×6371000²
    0.00153398000000005×0.000585346654910612×40589641000000     		ar = 16896240.129505m²