Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3127 / 3029
↖ ↑ ↗
← S 64.960766°
E 94.833984°		 ← 4 136.31 m → S 64.960766°
E 94.921875°		 →
↑
4 133.44 m
↓
↑
4 133.44 m
↓
S 64.997939°
E 94.833984°		 ← 4 130.56 m →
17 085 306 m²		 S 64.997939°
E 94.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7635498046875 y=0.7396240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7635498046875 × 212)
    floor (0.7635498046875 × 4096)
    floor (3127.5)     		tx = 3127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7396240234375 × 212)
    floor (0.7396240234375 × 4096)
    floor (3029.5)     		ty = 3029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3127 / 3029 ti = "12/3127/3029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3127/3029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3127 ÷ 212
    3127 ÷ 4096     		x = 0.763427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3029 ÷ 212
    3029 ÷ 4096     		y = 0.739501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763427734375 × 2 - 1) × π
    0.52685546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65516527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739501953125 × 2 - 1) × π
    -0.47900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5048351528728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65516527} λ = 1.65516527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5048351528728))-π/2
    2×atan(0.222053895761804)-π/2
    2×0.218508534942152-π/2
    0.437017069884303-1.57079632675     		φ = -1.13377926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65516527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.833984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13377926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.960766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3127 KachelY 3029 1.65516527 -1.13377926 94.833984 -64.960766
    Oben rechts KachelX + 1 3128 KachelY 3029 1.65669925 -1.13377926 94.921875 -64.960766
    Unten links KachelX 3127 KachelY + 1 3030 1.65516527 -1.13442805 94.833984 -64.997939
    Unten rechts KachelX + 1 3128 KachelY + 1 3030 1.65669925 -1.13442805 94.921875 -64.997939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13377926--1.13442805) × R
    0.000648789999999844 × 6371000     		dl = 4133.441089999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13377926--1.13442805) × R
    0.000648789999999844 × 6371000     		dr = 4133.441089999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65516527-1.65669925) × cos(-1.13377926) × R
    0.00153398000000005 × 0.423238760309742 × 6371000     		do = 4136.30672464307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65516527-1.65669925) × cos(-1.13442805) × R
    0.00153398000000005 × 0.422650855736037 × 6371000     		du = 4130.56114113393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13377926)-sin(-1.13442805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423238760309742-0.422650855736037)×R²
    abs(1.65669925-1.65516527)×0.000587904573704556×R²
    0.00153398000000005×0.000587904573704556×6371000²
    0.00153398000000005×0.000587904573704556×40589641000000     		ar = 17085306.2603009m²