Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3127 / 3028
↖ ↑ ↗
← S 64.923542°
E 94.833984°		 ← 4 142.06 m → S 64.923542°
E 94.921875°		 →
↑
4 139.17 m
↓
↑
4 139.17 m
↓
S 64.960766°
E 94.833984°		 ← 4 136.31 m →
17 132 802 m²		 S 64.960766°
E 94.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7635498046875 y=0.7393798828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7635498046875 × 212)
    floor (0.7635498046875 × 4096)
    floor (3127.5)     		tx = 3127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7393798828125 × 212)
    floor (0.7393798828125 × 4096)
    floor (3028.5)     		ty = 3028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3127 / 3028 ti = "12/3127/3028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3127/3028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3127 ÷ 212
    3127 ÷ 4096     		x = 0.763427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3028 ÷ 212
    3028 ÷ 4096     		y = 0.7392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763427734375 × 2 - 1) × π
    0.52685546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65516527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7392578125 × 2 - 1) × π
    -0.478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50330117208496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65516527} λ = 1.65516527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50330117208496))-π/2
    2×atan(0.222394783562592)-π/2
    2×0.218833380670323-π/2
    0.437666761340645-1.57079632675     		φ = -1.13312957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65516527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.833984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13312957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.923542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3127 KachelY 3028 1.65516527 -1.13312957 94.833984 -64.923542
    Oben rechts KachelX + 1 3128 KachelY 3028 1.65669925 -1.13312957 94.921875 -64.923542
    Unten links KachelX 3127 KachelY + 1 3029 1.65516527 -1.13377926 94.833984 -64.960766
    Unten rechts KachelX + 1 3128 KachelY + 1 3029 1.65669925 -1.13377926 94.921875 -64.960766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13312957--1.13377926) × R
    0.000649690000000147 × 6371000     		dl = 4139.17499000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13312957--1.13377926) × R
    0.000649690000000147 × 6371000     		dr = 4139.17499000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65516527-1.65669925) × cos(-1.13312957) × R
    0.00153398000000005 × 0.423827301899101 × 6371000     		do = 4142.05853369765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65516527-1.65669925) × cos(-1.13377926) × R
    0.00153398000000005 × 0.423238760309742 × 6371000     		du = 4136.30672464307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13312957)-sin(-1.13377926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423827301899101-0.423238760309742)×R²
    abs(1.65669925-1.65516527)×0.000588541589359337×R²
    0.00153398000000005×0.000588541589359337×6371000²
    0.00153398000000005×0.000588541589359337×40589641000000     		ar = 17132801.8203528m²