Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31269 / 38087
↖ ↑ ↗
← S 28.028349°
W  8.234253°		 ← 539.21 m → S 28.028349°
W  8.228760°		 →
↑
539.18 m
↓
↑
539.18 m
↓
S 28.033198°
W  8.234253°		 ← 539.18 m →
290 722 m²		 S 28.033198°
W  8.228760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477134704589844 y=0.581169128417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477134704589844 × 216)
    floor (0.477134704589844 × 65536)
    floor (31269.5)     		tx = 31269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581169128417969 × 216)
    floor (0.581169128417969 × 65536)
    floor (38087.5)     		ty = 38087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31269 / 38087 ti = "16/31269/38087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31269/38087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31269 ÷ 216
    31269 ÷ 65536     		x = 0.477127075195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38087 ÷ 216
    38087 ÷ 65536     		y = 0.581161499023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477127075195312 × 2 - 1) × π
    -0.045745849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14371483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581161499023438 × 2 - 1) × π
    -0.162322998046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.509952738158157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14371483} λ = -0.14371483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509952738158157))-π/2
    2×atan(0.600523960010008)-π/2
    2×0.540804675928019-π/2
    1.08160935185604-1.57079632675     		φ = -0.48918697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14371483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.234253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48918697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.028349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31269 KachelY 38087 -0.14371483 -0.48918697 -8.234253 -28.028349
    Oben rechts KachelX + 1 31270 KachelY 38087 -0.14361895 -0.48918697 -8.228760 -28.028349
    Unten links KachelX 31269 KachelY + 1 38088 -0.14371483 -0.48927160 -8.234253 -28.033198
    Unten rechts KachelX + 1 31270 KachelY + 1 38088 -0.14361895 -0.48927160 -8.228760 -28.033198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48918697--0.48927160) × R
    8.46299999999744e-05 × 6371000     		dl = 539.177729999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48918697--0.48927160) × R
    8.46299999999744e-05 × 6371000     		dr = 539.177729999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14371483--0.14361895) × cos(-0.48918697) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.882715199914989 × 6371000     		do = 539.207886286525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14371483--0.14361895) × cos(-0.48927160) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.882675428408608 × 6371000     		du = 539.183591802991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48918697)-sin(-0.48927160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882715199914989-0.882675428408608)×R²
    abs(-0.14361895--0.14371483)×3.97715063811255e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.97715063811255e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.97715063811255e-05×40589641000000     		ar = 290722.334777148m²