Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31268 / 39527
↖ ↑ ↗
← S 34.773204°
W  8.239746°		 ← 501.71 m → S 34.773204°
W  8.234253°		 →
↑
501.72 m
↓
↑
501.72 m
↓
S 34.777716°
W  8.239746°		 ← 501.68 m →
251 710 m²		 S 34.777716°
W  8.234253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477119445800781 y=0.603141784667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477119445800781 × 216)
    floor (0.477119445800781 × 65536)
    floor (31268.5)     		tx = 31268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603141784667969 × 216)
    floor (0.603141784667969 × 65536)
    floor (39527.5)     		ty = 39527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31268 / 39527 ti = "16/31268/39527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31268/39527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31268 ÷ 216
    31268 ÷ 65536     		x = 0.47711181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39527 ÷ 216
    39527 ÷ 65536     		y = 0.603134155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47711181640625 × 2 - 1) × π
    -0.0457763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14381070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603134155273438 × 2 - 1) × π
    -0.206268310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.648011009063919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14381070} λ = -0.14381070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.648011009063919))-π/2
    2×atan(0.523085154392902)-π/2
    2×0.481944714918496-π/2
    0.963889429836993-1.57079632675     		φ = -0.60690690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14381070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.239746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60690690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.773204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31268 KachelY 39527 -0.14381070 -0.60690690 -8.239746 -34.773204
    Oben rechts KachelX + 1 31269 KachelY 39527 -0.14371483 -0.60690690 -8.234253 -34.773204
    Unten links KachelX 31268 KachelY + 1 39528 -0.14381070 -0.60698565 -8.239746 -34.777716
    Unten rechts KachelX + 1 31269 KachelY + 1 39528 -0.14371483 -0.60698565 -8.234253 -34.777716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60690690--0.60698565) × R
    7.87500000000163e-05 × 6371000     		dl = 501.716250000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60690690--0.60698565) × R
    7.87500000000163e-05 × 6371000     		dr = 501.716250000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14381070--0.14371483) × cos(-0.60690690) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.821416030468046 × 6371000     		do = 501.710865491964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14381070--0.14371483) × cos(-0.60698565) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.821371114475261 × 6371000     		du = 501.683431352894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60690690)-sin(-0.60698565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.821416030468046-0.821371114475261)×R²
    abs(-0.14371483--0.14381070)×4.49159927847775e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.49159927847775e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.49159927847775e-05×40589641000000     		ar = 251709.612072239m²