Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31268 / 17326
↖ ↑ ↗
← N 64.363685°
W  8.239746°		 ← 264.26 m → N 64.363685°
W  8.234253°		 →
↑
264.33 m
↓
↑
264.33 m
↓
N 64.361308°
W  8.239746°		 ← 264.28 m →
69 856 m²		 N 64.361308°
W  8.234253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477119445800781 y=0.264381408691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477119445800781 × 216)
    floor (0.477119445800781 × 65536)
    floor (31268.5)     		tx = 31268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264381408691406 × 216)
    floor (0.264381408691406 × 65536)
    floor (17326.5)     		ty = 17326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31268 / 17326 ti = "16/31268/17326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31268/17326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31268 ÷ 216
    31268 ÷ 65536     		x = 0.47711181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17326 ÷ 216
    17326 ÷ 65536     		y = 0.264373779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47711181640625 × 2 - 1) × π
    -0.0457763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14381070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264373779296875 × 2 - 1) × π
    0.47125244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.48048320786581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14381070} λ = -0.14381070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48048320786581))-π/2
    2×atan(4.39506889976258)-π/2
    2×1.34707727179259-π/2
    2.69415454358518-1.57079632675     		φ = 1.12335822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14381070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.239746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12335822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.363685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31268 KachelY 17326 -0.14381070 1.12335822 -8.239746 64.363685
    Oben rechts KachelX + 1 31269 KachelY 17326 -0.14371483 1.12335822 -8.234253 64.363685
    Unten links KachelX 31268 KachelY + 1 17327 -0.14381070 1.12331673 -8.239746 64.361308
    Unten rechts KachelX + 1 31269 KachelY + 1 17327 -0.14371483 1.12331673 -8.234253 64.361308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12335822-1.12331673) × R
    4.14900000000884e-05 × 6371000     		dl = 264.332790000563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12335822-1.12331673) × R
    4.14900000000884e-05 × 6371000     		dr = 264.332790000563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14381070--0.14371483) × cos(1.12335822) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.432657259918413 × 6371000     		do = 264.261762959948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14381070--0.14371483) × cos(1.12331673) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.432694665207404 × 6371000     		du = 264.284609652998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12335822)-sin(1.12331673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432657259918413-0.432694665207404)×R²
    abs(-0.14371483--0.14381070)×3.74052889914878e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.74052889914878e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.74052889914878e-05×40589641000000     		ar = 69856.0686690025m²