Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31267 / 19685
↖ ↑ ↗
← N 58.156214°
W  8.245239°		 ← 322.25 m → N 58.156214°
W  8.239746°		 →
↑
322.31 m
↓
↑
322.31 m
↓
N 58.153316°
W  8.245239°		 ← 322.28 m →
103 870 m²		 N 58.153316°
W  8.239746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477104187011719 y=0.300376892089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477104187011719 × 216)
    floor (0.477104187011719 × 65536)
    floor (31267.5)     		tx = 31267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300376892089844 × 216)
    floor (0.300376892089844 × 65536)
    floor (19685.5)     		ty = 19685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31267 / 19685 ti = "16/31267/19685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31267/19685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31267 ÷ 216
    31267 ÷ 65536     		x = 0.477096557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19685 ÷ 216
    19685 ÷ 65536     		y = 0.300369262695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477096557617188 × 2 - 1) × π
    -0.045806884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14390657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300369262695312 × 2 - 1) × π
    0.399261474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25431691545839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14390657} λ = -0.14390657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25431691545839))-π/2
    2×atan(3.50544304237486)-π/2
    2×1.29290687362996-π/2
    2.58581374725993-1.57079632675     		φ = 1.01501742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14390657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.245239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01501742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.156214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31267 KachelY 19685 -0.14390657 1.01501742 -8.245239 58.156214
    Oben rechts KachelX + 1 31268 KachelY 19685 -0.14381070 1.01501742 -8.239746 58.156214
    Unten links KachelX 31267 KachelY + 1 19686 -0.14390657 1.01496683 -8.245239 58.153316
    Unten rechts KachelX + 1 31268 KachelY + 1 19686 -0.14381070 1.01496683 -8.239746 58.153316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01501742-1.01496683) × R
    5.05899999998505e-05 × 6371000     		dl = 322.308889999047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01501742-1.01496683) × R
    5.05899999998505e-05 × 6371000     		dr = 322.308889999047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14390657--0.14381070) × cos(1.01501742) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.527605133517141 × 6371000     		do = 322.25476294148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14390657--0.14381070) × cos(1.01496683) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.527648108528047 × 6371000     		du = 322.281011552557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01501742)-sin(1.01496683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527605133517141-0.527648108528047)×R²
    abs(-0.14381070--0.14390657)×4.297501090611e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.297501090611e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.297501090611e-05×40589641000000     		ar = 103869.805043123m²