Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31267 / 12745
↖ ↑ ↗
← N 73.313668°
W  8.245239°		 ← 175.38 m → N 73.313668°
W  8.239746°		 →
↑
175.39 m
↓
↑
175.39 m
↓
N 73.312091°
W  8.245239°		 ← 175.39 m →
30 761 m²		 N 73.312091°
W  8.239746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477104187011719 y=0.194480895996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477104187011719 × 216)
    floor (0.477104187011719 × 65536)
    floor (31267.5)     		tx = 31267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194480895996094 × 216)
    floor (0.194480895996094 × 65536)
    floor (12745.5)     		ty = 12745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31267 / 12745 ti = "16/31267/12745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31267/12745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31267 ÷ 216
    31267 ÷ 65536     		x = 0.477096557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12745 ÷ 216
    12745 ÷ 65536     		y = 0.194473266601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477096557617188 × 2 - 1) × π
    -0.045806884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14390657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194473266601562 × 2 - 1) × π
    0.611053466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.91968108218477
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14390657} λ = -0.14390657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91968108218477))-π/2
    2×atan(6.81878349095604)-π/2
    2×1.42518061523156-π/2
    2.85036123046313-1.57079632675     		φ = 1.27956490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14390657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.245239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27956490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.313668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31267 KachelY 12745 -0.14390657 1.27956490 -8.245239 73.313668
    Oben rechts KachelX + 1 31268 KachelY 12745 -0.14381070 1.27956490 -8.239746 73.313668
    Unten links KachelX 31267 KachelY + 1 12746 -0.14390657 1.27953737 -8.245239 73.312091
    Unten rechts KachelX + 1 31268 KachelY + 1 12746 -0.14381070 1.27953737 -8.239746 73.312091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27956490-1.27953737) × R
    2.75300000001089e-05 × 6371000     		dl = 175.393630000694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27956490-1.27953737) × R
    2.75300000001089e-05 × 6371000     		dr = 175.393630000694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14390657--0.14381070) × cos(1.27956490) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.2871320151803 × 6371000     		do = 175.376723247577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14390657--0.14381070) × cos(1.27953737) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.287158385811263 × 6371000     		du = 175.392830106457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27956490)-sin(1.27953737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2871320151803-0.287158385811263)×R²
    abs(-0.14381070--0.14390657)×2.6370630963668e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.6370630963668e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.6370630963668e-05×40589641000000     		ar = 30761.3726300445m²