Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31266 / 20067
↖ ↑ ↗
← N 57.031763°
W  8.250733°		 ← 332.41 m → N 57.031763°
W  8.245239°		 →
↑
332.44 m
↓
↑
332.44 m
↓
N 57.028774°
W  8.250733°		 ← 332.44 m →
110 510 m²		 N 57.028774°
W  8.245239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477088928222656 y=0.306205749511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477088928222656 × 216)
    floor (0.477088928222656 × 65536)
    floor (31266.5)     		tx = 31266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306205749511719 × 216)
    floor (0.306205749511719 × 65536)
    floor (20067.5)     		ty = 20067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31266 / 20067 ti = "16/31266/20067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31266/20067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31266 ÷ 216
    31266 ÷ 65536     		x = 0.477081298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20067 ÷ 216
    20067 ÷ 65536     		y = 0.306198120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477081298828125 × 2 - 1) × π
    -0.04583740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14400245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306198120117188 × 2 - 1) × π
    0.387603759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.21769312414867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14400245} λ = -0.14400245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21769312414867))-π/2
    2×atan(3.37938291786643)-π/2
    2×1.28309418649415-π/2
    2.5661883729883-1.57079632675     		φ = 0.99539205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14400245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.250733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99539205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.031763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31266 KachelY 20067 -0.14400245 0.99539205 -8.250733 57.031763
    Oben rechts KachelX + 1 31267 KachelY 20067 -0.14390657 0.99539205 -8.245239 57.031763
    Unten links KachelX 31266 KachelY + 1 20068 -0.14400245 0.99533987 -8.250733 57.028774
    Unten rechts KachelX + 1 31267 KachelY + 1 20068 -0.14390657 0.99533987 -8.245239 57.028774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99539205-0.99533987) × R
    5.21799999999573e-05 × 6371000     		dl = 332.438779999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99539205-0.99533987) × R
    5.21799999999573e-05 × 6371000     		dr = 332.438779999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14400245--0.14390657) × cos(0.99539205) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.544174012206621 × 6371000     		do = 332.409500733927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14400245--0.14390657) × cos(0.99533987) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.544217789044254 × 6371000     		du = 332.436241879985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99539205)-sin(0.99533987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544174012206621-0.544217789044254)×R²
    abs(-0.14390657--0.14400245)×4.37768376331249e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.37768376331249e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.37768376331249e-05×40589641000000     		ar = 110510.253806304m²