Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31265 / 39499
↖ ↑ ↗
← S 34.646766°
W  8.256226°		 ← 502.48 m → S 34.646766°
W  8.250733°		 →
↑
502.48 m
↓
↑
502.48 m
↓
S 34.651285°
W  8.256226°		 ← 502.45 m →
252 479 m²		 S 34.651285°
W  8.250733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477073669433594 y=0.602714538574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477073669433594 × 216)
    floor (0.477073669433594 × 65536)
    floor (31265.5)     		tx = 31265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602714538574219 × 216)
    floor (0.602714538574219 × 65536)
    floor (39499.5)     		ty = 39499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31265 / 39499 ti = "16/31265/39499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31265/39499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31265 ÷ 216
    31265 ÷ 65536     		x = 0.477066040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39499 ÷ 216
    39499 ÷ 65536     		y = 0.602706909179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477066040039062 × 2 - 1) × π
    -0.045867919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14409832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602706909179688 × 2 - 1) × π
    -0.205413818359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.645326542685196
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14409832} λ = -0.14409832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.645326542685196))-π/2
    2×atan(0.524491245360644)-π/2
    2×0.483048090319737-π/2
    0.966096180639475-1.57079632675     		φ = -0.60470015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14409832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.256226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60470015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.646766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31265 KachelY 39499 -0.14409832 -0.60470015 -8.256226 -34.646766
    Oben rechts KachelX + 1 31266 KachelY 39499 -0.14400245 -0.60470015 -8.250733 -34.646766
    Unten links KachelX 31265 KachelY + 1 39500 -0.14409832 -0.60477902 -8.256226 -34.651285
    Unten rechts KachelX + 1 31266 KachelY + 1 39500 -0.14400245 -0.60477902 -8.250733 -34.651285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60470015--0.60477902) × R
    7.88699999999531e-05 × 6371000     		dl = 502.480769999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60470015--0.60477902) × R
    7.88699999999531e-05 × 6371000     		dr = 502.480769999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14409832--0.14400245) × cos(-0.60470015) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.8226726039628 × 6371000     		do = 502.478365214521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14409832--0.14400245) × cos(-0.60477902) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.822627762592692 × 6371000     		du = 502.450976654069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60470015)-sin(-0.60477902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8226726039628-0.822627762592692)×R²
    abs(-0.14400245--0.14409832)×4.4841370108073e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4841370108073e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4841370108073e-05×40589641000000     		ar = 252478.834879543m²