Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31265 / 14240
↖ ↑ ↗
← N 70.786910°
W  8.256226°		 ← 201 m → N 70.786910°
W  8.250733°		 →
↑
201.01 m
↓
↑
201.01 m
↓
N 70.785102°
W  8.256226°		 ← 201.02 m →
40 404 m²		 N 70.785102°
W  8.250733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477073669433594 y=0.217292785644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477073669433594 × 216)
    floor (0.477073669433594 × 65536)
    floor (31265.5)     		tx = 31265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217292785644531 × 216)
    floor (0.217292785644531 × 65536)
    floor (14240.5)     		ty = 14240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31265 / 14240 ti = "16/31265/14240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31265/14240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31265 ÷ 216
    31265 ÷ 65536     		x = 0.477066040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14240 ÷ 216
    14240 ÷ 65536     		y = 0.21728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477066040039062 × 2 - 1) × π
    -0.045867919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14409832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21728515625 × 2 - 1) × π
    0.5654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.7763497523208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14409832} λ = -0.14409832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7763497523208))-π/2
    2×atan(5.90825043155362)-π/2
    2×1.40313048540957-π/2
    2.80626097081914-1.57079632675     		φ = 1.23546464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14409832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.256226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23546464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.786910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31265 KachelY 14240 -0.14409832 1.23546464 -8.256226 70.786910
    Oben rechts KachelX + 1 31266 KachelY 14240 -0.14400245 1.23546464 -8.250733 70.786910
    Unten links KachelX 31265 KachelY + 1 14241 -0.14409832 1.23543309 -8.256226 70.785102
    Unten rechts KachelX + 1 31266 KachelY + 1 14241 -0.14400245 1.23543309 -8.250733 70.785102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23546464-1.23543309) × R
    3.15500000001023e-05 × 6371000     		dl = 201.005050000652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23546464-1.23543309) × R
    3.15500000001023e-05 × 6371000     		dr = 201.005050000652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14409832--0.14400245) × cos(1.23546464) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.329082400211873 × 6371000     		do = 200.999505371653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14409832--0.14400245) × cos(1.23543309) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.329112192751237 × 6371000     		du = 201.017702290334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23546464)-sin(1.23543309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329082400211873-0.329112192751237)×R²
    abs(-0.14400245--0.14409832)×2.97925393635823e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.97925393635823e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.97925393635823e-05×40589641000000     		ar = 40403.7444670357m²