Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31263 / 17312
↖ ↑ ↗
← N 64.396938°
W  8.267212°		 ← 263.97 m → N 64.396938°
W  8.261719°		 →
↑
263.95 m
↓
↑
263.95 m
↓
N 64.394564°
W  8.267212°		 ← 263.99 m →
69 678 m²		 N 64.394564°
W  8.261719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477043151855469 y=0.264167785644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477043151855469 × 216)
    floor (0.477043151855469 × 65536)
    floor (31263.5)     		tx = 31263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264167785644531 × 216)
    floor (0.264167785644531 × 65536)
    floor (17312.5)     		ty = 17312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31263 / 17312 ti = "16/31263/17312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31263/17312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31263 ÷ 216
    31263 ÷ 65536     		x = 0.477035522460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17312 ÷ 216
    17312 ÷ 65536     		y = 0.26416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477035522460938 × 2 - 1) × π
    -0.045928955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14429007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26416015625 × 2 - 1) × π
    0.4716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.48182544105518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14429007} λ = -0.14429007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48182544105518))-π/2
    2×atan(4.40097206793724)-π/2
    2×1.34736745963135-π/2
    2.69473491926271-1.57079632675     		φ = 1.12393859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14429007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.267212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12393859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.396938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31263 KachelY 17312 -0.14429007 1.12393859 -8.267212 64.396938
    Oben rechts KachelX + 1 31264 KachelY 17312 -0.14419419 1.12393859 -8.261719 64.396938
    Unten links KachelX 31263 KachelY + 1 17313 -0.14429007 1.12389716 -8.267212 64.394564
    Unten rechts KachelX + 1 31264 KachelY + 1 17313 -0.14419419 1.12389716 -8.261719 64.394564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12393859-1.12389716) × R
    4.1430000000009e-05 × 6371000     		dl = 263.950530000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12393859-1.12389716) × R
    4.1430000000009e-05 × 6371000     		dr = 263.950530000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14429007--0.14419419) × cos(1.12393859) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.432133949586091 × 6371000     		do = 263.969662662889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14429007--0.14419419) × cos(1.12389716) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.432171311179935 × 6371000     		du = 263.992485047783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12393859)-sin(1.12389716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432133949586091-0.432171311179935)×R²
    abs(-0.14419419--0.14429007)×3.73615938433769e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.73615938433769e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.73615938433769e-05×40589641000000     		ar = 69677.9443641233m²