Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31262 / 17313
↖ ↑ ↗
← N 64.394564°
W  8.272705°		 ← 263.96 m → N 64.394564°
W  8.267212°		 →
↑
264.01 m
↓
↑
264.01 m
↓
N 64.392190°
W  8.272705°		 ← 263.99 m →
69 694 m²		 N 64.392190°
W  8.267212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477027893066406 y=0.264183044433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477027893066406 × 216)
    floor (0.477027893066406 × 65536)
    floor (31262.5)     		tx = 31262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264183044433594 × 216)
    floor (0.264183044433594 × 65536)
    floor (17313.5)     		ty = 17313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31262 / 17313 ti = "16/31262/17313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31262/17313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31262 ÷ 216
    31262 ÷ 65536     		x = 0.477020263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17313 ÷ 216
    17313 ÷ 65536     		y = 0.264175415039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477020263671875 × 2 - 1) × π
    -0.04595947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14438594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264175415039062 × 2 - 1) × π
    0.471649169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.48172956725594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14438594} λ = -0.14438594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48172956725594))-π/2
    2×atan(4.40055015025049)-π/2
    2×1.34734674357416-π/2
    2.69469348714832-1.57079632675     		φ = 1.12389716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14438594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.272705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12389716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.394564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31262 KachelY 17313 -0.14438594 1.12389716 -8.272705 64.394564
    Oben rechts KachelX + 1 31263 KachelY 17313 -0.14429007 1.12389716 -8.267212 64.394564
    Unten links KachelX 31262 KachelY + 1 17314 -0.14438594 1.12385572 -8.272705 64.392190
    Unten rechts KachelX + 1 31263 KachelY + 1 17314 -0.14429007 1.12385572 -8.267212 64.392190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12389716-1.12385572) × R
    4.14400000001702e-05 × 6371000     		dl = 264.014240001085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12389716-1.12385572) × R
    4.14400000001702e-05 × 6371000     		dr = 264.014240001085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14438594--0.14429007) × cos(1.12389716) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.432171311179935 × 6371000     		do = 263.964951413563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14438594--0.14429007) × cos(1.12385572) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.432208681049716 × 6371000     		du = 263.987776472992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12389716)-sin(1.12385572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432171311179935-0.432208681049716)×R²
    abs(-0.14429007--0.14438594)×3.73698697815339e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.73698697815339e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.73698697815339e-05×40589641000000     		ar = 69693.5191147334m²