Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31262 / 12770
↖ ↑ ↗
← N 73.274192°
W  8.272705°		 ← 175.78 m → N 73.274192°
W  8.267212°		 →
↑
175.78 m
↓
↑
175.78 m
↓
N 73.272611°
W  8.272705°		 ← 175.80 m →
30 899 m²		 N 73.272611°
W  8.267212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477027893066406 y=0.194862365722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477027893066406 × 216)
    floor (0.477027893066406 × 65536)
    floor (31262.5)     		tx = 31262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194862365722656 × 216)
    floor (0.194862365722656 × 65536)
    floor (12770.5)     		ty = 12770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31262 / 12770 ti = "16/31262/12770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31262/12770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31262 ÷ 216
    31262 ÷ 65536     		x = 0.477020263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12770 ÷ 216
    12770 ÷ 65536     		y = 0.194854736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477020263671875 × 2 - 1) × π
    -0.04595947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14438594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194854736328125 × 2 - 1) × π
    0.61029052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.91728423720377
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14438594} λ = -0.14438594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91728423720377))-π/2
    2×atan(6.80245949482823)-π/2
    2×1.42483611447713-π/2
    2.84967222895426-1.57079632675     		φ = 1.27887590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14438594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.272705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27887590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.274192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31262 KachelY 12770 -0.14438594 1.27887590 -8.272705 73.274192
    Oben rechts KachelX + 1 31263 KachelY 12770 -0.14429007 1.27887590 -8.267212 73.274192
    Unten links KachelX 31262 KachelY + 1 12771 -0.14438594 1.27884831 -8.272705 73.272611
    Unten rechts KachelX + 1 31263 KachelY + 1 12771 -0.14429007 1.27884831 -8.267212 73.272611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27887590-1.27884831) × R
    2.75899999999663e-05 × 6371000     		dl = 175.775889999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27887590-1.27884831) × R
    2.75899999999663e-05 × 6371000     		dr = 175.775889999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14438594--0.14429007) × cos(1.27887590) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.287791933886944 × 6371000     		do = 175.77979352279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14438594--0.14429007) × cos(1.27884831) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.287818356526131 × 6371000     		du = 175.795932147657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27887590)-sin(1.27884831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287791933886944-0.287818356526131)×R²
    abs(-0.14429007--0.14438594)×2.64226391872846e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.64226391872846e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.64226391872846e-05×40589641000000     		ar = 30899.2680432374m²