Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31261 / 12806
↖ ↑ ↗
← N 73.217186°
W  8.278199°		 ← 176.38 m → N 73.217186°
W  8.272705°		 →
↑
176.41 m
↓
↑
176.41 m
↓
N 73.215599°
W  8.278199°		 ← 176.40 m →
31 117 m²		 N 73.215599°
W  8.272705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.477012634277344 y=0.195411682128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.477012634277344 × 216)
    floor (0.477012634277344 × 65536)
    floor (31261.5)     		tx = 31261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195411682128906 × 216)
    floor (0.195411682128906 × 65536)
    floor (12806.5)     		ty = 12806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31261 / 12806 ti = "16/31261/12806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31261/12806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31261 ÷ 216
    31261 ÷ 65536     		x = 0.477005004882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12806 ÷ 216
    12806 ÷ 65536     		y = 0.195404052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.477005004882812 × 2 - 1) × π
    -0.045989990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14448182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.195404052734375 × 2 - 1) × π
    0.60919189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.91383278043112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14448182} λ = -0.14448182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91383278043112))-π/2
    2×atan(6.77902157069229)-π/2
    2×1.42433864212438-π/2
    2.84867728424876-1.57079632675     		φ = 1.27788096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14448182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.278199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27788096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.217186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31261 KachelY 12806 -0.14448182 1.27788096 -8.278199 73.217186
    Oben rechts KachelX + 1 31262 KachelY 12806 -0.14438594 1.27788096 -8.272705 73.217186
    Unten links KachelX 31261 KachelY + 1 12807 -0.14448182 1.27785327 -8.278199 73.215599
    Unten rechts KachelX + 1 31262 KachelY + 1 12807 -0.14438594 1.27785327 -8.272705 73.215599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27788096-1.27785327) × R
    2.76900000000246e-05 × 6371000     		dl = 176.412990000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27788096-1.27785327) × R
    2.76900000000246e-05 × 6371000     		dr = 176.412990000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14448182--0.14438594) × cos(1.27788096) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.288744638318472 × 6371000     		do = 176.380089658941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14448182--0.14438594) × cos(1.27785327) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.288771148784034 × 6371000     		du = 176.396283616065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27788096)-sin(1.27785327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288744638318472-0.288771148784034)×R²
    abs(-0.14438594--0.14448182)×2.65104655626791e-05×R²
    9.58800000000204e-05×2.65104655626791e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×2.65104655626791e-05×40589641000000     		ar = 31117.1674072331m²