Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3126 / 3112
↖ ↑ ↗
← S 67.875541°
E 94.746094°		 ← 3 680.70 m → S 67.875541°
E 94.833984°		 →
↑
3 678.11 m
↓
↑
3 678.11 m
↓
S 67.908619°
E 94.746094°		 ← 3 675.47 m →
13 528 390 m²		 S 67.908619°
E 94.833984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7633056640625 y=0.7598876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7633056640625 × 212)
    floor (0.7633056640625 × 4096)
    floor (3126.5)     		tx = 3126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7598876953125 × 212)
    floor (0.7598876953125 × 4096)
    floor (3112.5)     		ty = 3112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3126 / 3112 ti = "12/3126/3112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3126/3112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3126 ÷ 212
    3126 ÷ 4096     		x = 0.76318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3112 ÷ 212
    3112 ÷ 4096     		y = 0.759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76318359375 × 2 - 1) × π
    0.5263671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65363129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759765625 × 2 - 1) × π
    -0.51953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63215555826367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65363129} λ = 1.65363129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63215555826367))-π/2
    2×atan(0.195507691374084)-π/2
    2×0.193072324369246-π/2
    0.386144648738491-1.57079632675     		φ = -1.18465168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65363129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.746094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18465168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.875541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3126 KachelY 3112 1.65363129 -1.18465168 94.746094 -67.875541
    Oben rechts KachelX + 1 3127 KachelY 3112 1.65516527 -1.18465168 94.833984 -67.875541
    Unten links KachelX 3126 KachelY + 1 3113 1.65363129 -1.18522900 94.746094 -67.908619
    Unten rechts KachelX + 1 3127 KachelY + 1 3113 1.65516527 -1.18522900 94.833984 -67.908619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18465168--1.18522900) × R
    0.000577320000000103 × 6371000     		dl = 3678.10572000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18465168--1.18522900) × R
    0.000577320000000103 × 6371000     		dr = 3678.10572000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65363129-1.65516527) × cos(-1.18465168) × R
    0.00153397999999982 × 0.376619747339496 × 6371000     		do = 3680.69973651146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65363129-1.65516527) × cos(-1.18522900) × R
    0.00153397999999982 × 0.376084873864947 × 6371000     		du = 3675.4724252227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18465168)-sin(-1.18522900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376619747339496-0.376084873864947)×R²
    abs(1.65516527-1.65363129)×0.000534873474548669×R²
    0.00153397999999982×0.000534873474548669×6371000²
    0.00153397999999982×0.000534873474548669×40589641000000     		ar = 13528389.8284405m²