Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31259 / 19607
↖ ↑ ↗
← N 58.381559°
W  8.289184°		 ← 320.21 m → N 58.381559°
W  8.283691°		 →
↑
320.27 m
↓
↑
320.27 m
↓
N 58.378678°
W  8.289184°		 ← 320.24 m →
102 558 m²		 N 58.378678°
W  8.283691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476982116699219 y=0.299186706542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476982116699219 × 216)
    floor (0.476982116699219 × 65536)
    floor (31259.5)     		tx = 31259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299186706542969 × 216)
    floor (0.299186706542969 × 65536)
    floor (19607.5)     		ty = 19607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31259 / 19607 ti = "16/31259/19607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31259/19607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31259 ÷ 216
    31259 ÷ 65536     		x = 0.476974487304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19607 ÷ 216
    19607 ÷ 65536     		y = 0.299179077148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476974487304688 × 2 - 1) × π
    -0.046051025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14467356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.299179077148438 × 2 - 1) × π
    0.401641845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.26179507179912
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14467356} λ = -0.14467356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26179507179912))-π/2
    2×atan(3.53175555540997)-π/2
    2×1.29487337255115-π/2
    2.58974674510229-1.57079632675     		φ = 1.01895042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14467356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.289184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01895042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.381559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31259 KachelY 19607 -0.14467356 1.01895042 -8.289184 58.381559
    Oben rechts KachelX + 1 31260 KachelY 19607 -0.14457769 1.01895042 -8.283691 58.381559
    Unten links KachelX 31259 KachelY + 1 19608 -0.14467356 1.01890015 -8.289184 58.378678
    Unten rechts KachelX + 1 31260 KachelY + 1 19608 -0.14457769 1.01890015 -8.283691 58.378678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01895042-1.01890015) × R
    5.02700000000189e-05 × 6371000     		dl = 320.27017000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01895042-1.01890015) × R
    5.02700000000189e-05 × 6371000     		dr = 320.27017000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14467356--0.14457769) × cos(1.01895042) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.524260018350425 × 6371000     		do = 320.211607508408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14467356--0.14457769) × cos(1.01890015) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.524302825520623 × 6371000     		du = 320.237753604433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01895042)-sin(1.01890015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524260018350425-0.524302825520623)×R²
    abs(-0.14457769--0.14467356)×4.28071701980004e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.28071701980004e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.28071701980004e-05×40589641000000     		ar = 102558.412901385m²