Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31258 / 17458
↖ ↑ ↗
← N 64.048171°
W  8.294678°		 ← 267.32 m → N 64.048171°
W  8.289184°		 →
↑
267.26 m
↓
↑
267.26 m
↓
N 64.045767°
W  8.294678°		 ← 267.34 m →
71 447 m²		 N 64.045767°
W  8.289184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476966857910156 y=0.266395568847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476966857910156 × 216)
    floor (0.476966857910156 × 65536)
    floor (31258.5)     		tx = 31258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.266395568847656 × 216)
    floor (0.266395568847656 × 65536)
    floor (17458.5)     		ty = 17458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31258 / 17458 ti = "16/31258/17458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31258/17458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31258 ÷ 216
    31258 ÷ 65536     		x = 0.476959228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17458 ÷ 216
    17458 ÷ 65536     		y = 0.266387939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476959228515625 × 2 - 1) × π
    -0.04608154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14476944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.266387939453125 × 2 - 1) × π
    0.46722412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.46782786636612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14476944} λ = -0.14476944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46782786636612))-π/2
    2×atan(4.33979827390985)-π/2
    2×1.34432389538605-π/2
    2.68864779077211-1.57079632675     		φ = 1.11785146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14476944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.294678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11785146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.048171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31258 KachelY 17458 -0.14476944 1.11785146 -8.294678 64.048171
    Oben rechts KachelX + 1 31259 KachelY 17458 -0.14467356 1.11785146 -8.289184 64.048171
    Unten links KachelX 31258 KachelY + 1 17459 -0.14476944 1.11780951 -8.294678 64.045767
    Unten rechts KachelX + 1 31259 KachelY + 1 17459 -0.14467356 1.11780951 -8.289184 64.045767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11785146-1.11780951) × R
    4.19499999999573e-05 × 6371000     		dl = 267.263449999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11785146-1.11780951) × R
    4.19499999999573e-05 × 6371000     		dr = 267.263449999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14476944--0.14467356) × cos(1.11785146) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.437615340989335 × 6371000     		do = 267.317978714019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14476944--0.14467356) × cos(1.11780951) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.437653060462088 × 6371000     		du = 267.341019709775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11785146)-sin(1.11780951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437615340989335-0.437653060462088)×R²
    abs(-0.14467356--0.14476944)×3.7719472752884e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.7719472752884e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.7719472752884e-05×40589641000000     		ar = 71447.4042565343m²