Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31257 / 12747
↖ ↑ ↗
← N 73.310514°
W  8.300171°		 ← 175.41 m → N 73.310514°
W  8.294678°		 →
↑
175.39 m
↓
↑
175.39 m
↓
N 73.308936°
W  8.300171°		 ← 175.43 m →
30 767 m²		 N 73.308936°
W  8.294678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476951599121094 y=0.194511413574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476951599121094 × 216)
    floor (0.476951599121094 × 65536)
    floor (31257.5)     		tx = 31257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194511413574219 × 216)
    floor (0.194511413574219 × 65536)
    floor (12747.5)     		ty = 12747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31257 / 12747 ti = "16/31257/12747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31257/12747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31257 ÷ 216
    31257 ÷ 65536     		x = 0.476943969726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12747 ÷ 216
    12747 ÷ 65536     		y = 0.194503784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476943969726562 × 2 - 1) × π
    -0.046112060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14486531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194503784179688 × 2 - 1) × π
    0.610992431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.91948933458629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14486531} λ = -0.14486531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91948933458629))-π/2
    2×atan(6.81747613094267)-π/2
    2×1.42515308426646-π/2
    2.85030616853292-1.57079632675     		φ = 1.27950984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14486531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.300171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27950984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.310514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31257 KachelY 12747 -0.14486531 1.27950984 -8.300171 73.310514
    Oben rechts KachelX + 1 31258 KachelY 12747 -0.14476944 1.27950984 -8.294678 73.310514
    Unten links KachelX 31257 KachelY + 1 12748 -0.14486531 1.27948231 -8.300171 73.308936
    Unten rechts KachelX + 1 31258 KachelY + 1 12748 -0.14476944 1.27948231 -8.294678 73.308936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27950984-1.27948231) × R
    2.75300000001089e-05 × 6371000     		dl = 175.393630000694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27950984-1.27948231) × R
    2.75300000001089e-05 × 6371000     		dr = 175.393630000694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14486531--0.14476944) × cos(1.27950984) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.287184756224589 × 6371000     		do = 175.408936832407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14486531--0.14476944) × cos(1.27948231) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.287211126420258 × 6371000     		du = 175.425043425413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27950984)-sin(1.27948231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287184756224589-0.287211126420258)×R²
    abs(-0.14476944--0.14486531)×2.63701956685347e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.63701956685347e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.63701956685347e-05×40589641000000     		ar = 30767.0226644749m²