Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31256 / 39507
↖ ↑ ↗
← S 34.682911°
W  8.305664°		 ← 502.26 m → S 34.682911°
W  8.300171°		 →
↑
502.29 m
↓
↑
502.29 m
↓
S 34.687428°
W  8.305664°		 ← 502.23 m →
252 273 m²		 S 34.687428°
W  8.300171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476936340332031 y=0.602836608886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476936340332031 × 216)
    floor (0.476936340332031 × 65536)
    floor (31256.5)     		tx = 31256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602836608886719 × 216)
    floor (0.602836608886719 × 65536)
    floor (39507.5)     		ty = 39507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31256 / 39507 ti = "16/31256/39507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31256/39507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31256 ÷ 216
    31256 ÷ 65536     		x = 0.4769287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39507 ÷ 216
    39507 ÷ 65536     		y = 0.602828979492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4769287109375 × 2 - 1) × π
    -0.046142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14496118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602828979492188 × 2 - 1) × π
    -0.205657958984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.646093533079117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14496118} λ = -0.14496118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.646093533079117))-π/2
    2×atan(0.524089119846673)-π/2
    2×0.482732668121807-π/2
    0.965465336243614-1.57079632675     		φ = -0.60533099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14496118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.305664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60533099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.682911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31256 KachelY 39507 -0.14496118 -0.60533099 -8.305664 -34.682911
    Oben rechts KachelX + 1 31257 KachelY 39507 -0.14486531 -0.60533099 -8.300171 -34.682911
    Unten links KachelX 31256 KachelY + 1 39508 -0.14496118 -0.60540983 -8.305664 -34.687428
    Unten rechts KachelX + 1 31257 KachelY + 1 39508 -0.14486531 -0.60540983 -8.300171 -34.687428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60533099--0.60540983) × R
    7.88400000000244e-05 × 6371000     		dl = 502.289640000156m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60533099--0.60540983) × R
    7.88400000000244e-05 × 6371000     		dr = 502.289640000156m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14496118--0.14486531) × cos(-0.60533099) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.822313798021843 × 6371000     		do = 502.259210933981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14496118--0.14486531) × cos(-0.60540983) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.822268932803208 × 6371000     		du = 502.23180780714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60533099)-sin(-0.60540983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.822313798021843-0.822268932803208)×R²
    abs(-0.14486531--0.14496118)×4.4865218635004e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4865218635004e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4865218635004e-05×40589641000000     		ar = 252272.716224098m²