Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31256 / 39481
↖ ↑ ↗
← S 34.565383°
W  8.305664°		 ← 502.97 m → S 34.565383°
W  8.300171°		 →
↑
502.99 m
↓
↑
502.99 m
↓
S 34.569906°
W  8.305664°		 ← 502.94 m →
252 983 m²		 S 34.569906°
W  8.300171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476936340332031 y=0.602439880371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476936340332031 × 216)
    floor (0.476936340332031 × 65536)
    floor (31256.5)     		tx = 31256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602439880371094 × 216)
    floor (0.602439880371094 × 65536)
    floor (39481.5)     		ty = 39481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31256 / 39481 ti = "16/31256/39481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31256/39481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31256 ÷ 216
    31256 ÷ 65536     		x = 0.4769287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39481 ÷ 216
    39481 ÷ 65536     		y = 0.602432250976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4769287109375 × 2 - 1) × π
    -0.046142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14496118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602432250976562 × 2 - 1) × π
    -0.204864501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.643600814298874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14496118} λ = -0.14496118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.643600814298874))-π/2
    2×atan(0.525397156244376)-π/2
    2×0.483758293149807-π/2
    0.967516586299615-1.57079632675     		φ = -0.60327974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14496118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.305664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60327974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.565383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31256 KachelY 39481 -0.14496118 -0.60327974 -8.305664 -34.565383
    Oben rechts KachelX + 1 31257 KachelY 39481 -0.14486531 -0.60327974 -8.300171 -34.565383
    Unten links KachelX 31256 KachelY + 1 39482 -0.14496118 -0.60335869 -8.305664 -34.569906
    Unten rechts KachelX + 1 31257 KachelY + 1 39482 -0.14486531 -0.60335869 -8.300171 -34.569906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60327974--0.60335869) × R
    7.89500000000221e-05 × 6371000     		dl = 502.990450000141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60327974--0.60335869) × R
    7.89500000000221e-05 × 6371000     		dr = 502.990450000141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14496118--0.14486531) × cos(-0.60327974) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.82347929878646 × 6371000     		do = 502.971084546935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14496118--0.14486531) × cos(-0.60335869) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.823434504228291 × 6371000     		du = 502.943724578642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60327974)-sin(-0.60335869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82347929878646-0.823434504228291)×R²
    abs(-0.14486531--0.14496118)×4.47945581695253e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.47945581695253e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.47945581695253e-05×40589641000000     		ar = 252982.771383447m²