Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31256 / 19865
↖ ↑ ↗
← N 57.630699°
W  8.305664°		 ← 327 m → N 57.630699°
W  8.300171°		 →
↑
327.02 m
↓
↑
327.02 m
↓
N 57.627758°
W  8.305664°		 ← 327.03 m →
106 941 m²		 N 57.627758°
W  8.300171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476936340332031 y=0.303123474121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476936340332031 × 216)
    floor (0.476936340332031 × 65536)
    floor (31256.5)     		tx = 31256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303123474121094 × 216)
    floor (0.303123474121094 × 65536)
    floor (19865.5)     		ty = 19865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31256 / 19865 ti = "16/31256/19865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31256/19865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31256 ÷ 216
    31256 ÷ 65536     		x = 0.4769287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19865 ÷ 216
    19865 ÷ 65536     		y = 0.303115844726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4769287109375 × 2 - 1) × π
    -0.046142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14496118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303115844726562 × 2 - 1) × π
    0.393768310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.23705963159517
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14496118} λ = -0.14496118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23705963159517))-π/2
    2×atan(3.44546761169437)-π/2
    2×1.28832088857544-π/2
    2.57664177715089-1.57079632675     		φ = 1.00584545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14496118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.305664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00584545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.630699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31256 KachelY 19865 -0.14496118 1.00584545 -8.305664 57.630699
    Oben rechts KachelX + 1 31257 KachelY 19865 -0.14486531 1.00584545 -8.300171 57.630699
    Unten links KachelX 31256 KachelY + 1 19866 -0.14496118 1.00579412 -8.305664 57.627758
    Unten rechts KachelX + 1 31257 KachelY + 1 19866 -0.14486531 1.00579412 -8.300171 57.627758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00584545-1.00579412) × R
    5.13300000000161e-05 × 6371000     		dl = 327.023430000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00584545-1.00579412) × R
    5.13300000000161e-05 × 6371000     		dr = 327.023430000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14496118--0.14486531) × cos(1.00584545) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.53537432646615 × 6371000     		do = 327.000090977505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14496118--0.14486531) × cos(1.00579412) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.535417679843693 × 6371000     		du = 327.026570690296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00584545)-sin(1.00579412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.53537432646615-0.535417679843693)×R²
    abs(-0.14486531--0.14496118)×4.33533775424655e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.33533775424655e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.33533775424655e-05×40589641000000     		ar = 106941.021128518m²