Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31255 / 39479
↖ ↑ ↗
← S 34.556335°
W  8.311157°		 ← 503.08 m → S 34.556335°
W  8.305664°		 →
↑
503.05 m
↓
↑
503.05 m
↓
S 34.560859°
W  8.311157°		 ← 503.05 m →
253 069 m²		 S 34.560859°
W  8.305664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476921081542969 y=0.602409362792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476921081542969 × 216)
    floor (0.476921081542969 × 65536)
    floor (31255.5)     		tx = 31255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602409362792969 × 216)
    floor (0.602409362792969 × 65536)
    floor (39479.5)     		ty = 39479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31255 / 39479 ti = "16/31255/39479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31255/39479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31255 ÷ 216
    31255 ÷ 65536     		x = 0.476913452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39479 ÷ 216
    39479 ÷ 65536     		y = 0.602401733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476913452148438 × 2 - 1) × π
    -0.046173095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14505706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602401733398438 × 2 - 1) × π
    -0.204803466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.643409066700394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14505706} λ = -0.14505706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.643409066700394))-π/2
    2×atan(0.525497909546628)-π/2
    2×0.483837247532962-π/2
    0.967674495065923-1.57079632675     		φ = -0.60312183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14505706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.311157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60312183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.556335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31255 KachelY 39479 -0.14505706 -0.60312183 -8.311157 -34.556335
    Oben rechts KachelX + 1 31256 KachelY 39479 -0.14496118 -0.60312183 -8.305664 -34.556335
    Unten links KachelX 31255 KachelY + 1 39480 -0.14505706 -0.60320079 -8.311157 -34.560859
    Unten rechts KachelX + 1 31256 KachelY + 1 39480 -0.14496118 -0.60320079 -8.305664 -34.560859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60312183--0.60320079) × R
    7.89600000000723e-05 × 6371000     		dl = 503.054160000461m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60312183--0.60320079) × R
    7.89600000000723e-05 × 6371000     		dr = 503.054160000461m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14505706--0.14496118) × cos(-0.60312183) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.823568878176191 × 6371000     		do = 503.078268115827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14505706--0.14496118) × cos(-0.60320079) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.823524088211799 × 6371000     		du = 503.050908099789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60312183)-sin(-0.60320079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.823568878176191-0.823524088211799)×R²
    abs(-0.14496118--0.14505706)×4.47899643915006e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.47899643915006e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.47899643915006e-05×40589641000000     		ar = 253068.733928055m²