Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31255 / 19864
↖ ↑ ↗
← N 57.633640°
W  8.311157°		 ← 327.01 m → N 57.633640°
W  8.305664°		 →
↑
327.02 m
↓
↑
327.02 m
↓
N 57.630699°
W  8.311157°		 ← 327.03 m →
106 944 m²		 N 57.630699°
W  8.305664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476921081542969 y=0.303108215332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476921081542969 × 216)
    floor (0.476921081542969 × 65536)
    floor (31255.5)     		tx = 31255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303108215332031 × 216)
    floor (0.303108215332031 × 65536)
    floor (19864.5)     		ty = 19864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31255 / 19864 ti = "16/31255/19864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31255/19864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31255 ÷ 216
    31255 ÷ 65536     		x = 0.476913452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19864 ÷ 216
    19864 ÷ 65536     		y = 0.3031005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476913452148438 × 2 - 1) × π
    -0.046173095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14505706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3031005859375 × 2 - 1) × π
    0.393798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23715550539441
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14505706} λ = -0.14505706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23715550539441))-π/2
    2×atan(3.44579795759997)-π/2
    2×1.2883465517217-π/2
    2.57669310344339-1.57079632675     		φ = 1.00589678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14505706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.311157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00589678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.633640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31255 KachelY 19864 -0.14505706 1.00589678 -8.311157 57.633640
    Oben rechts KachelX + 1 31256 KachelY 19864 -0.14496118 1.00589678 -8.305664 57.633640
    Unten links KachelX 31255 KachelY + 1 19865 -0.14505706 1.00584545 -8.311157 57.630699
    Unten rechts KachelX + 1 31256 KachelY + 1 19865 -0.14496118 1.00584545 -8.305664 57.630699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00589678-1.00584545) × R
    5.13300000000161e-05 × 6371000     		dl = 327.023430000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00589678-1.00584545) × R
    5.13300000000161e-05 × 6371000     		dr = 327.023430000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14505706--0.14496118) × cos(1.00589678) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.53533097167802 × 6371000     		do = 327.007716339332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14505706--0.14496118) × cos(1.00584545) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.53537432646615 × 6371000     		du = 327.034199675826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00589678)-sin(1.00584545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.53533097167802-0.53537432646615)×R²
    abs(-0.14496118--0.14505706)×4.33547881300012e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.33547881300012e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.33547881300012e-05×40589641000000     		ar = 106943.515392853m²