Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31255 / 16856
↖ ↑ ↗
← N 65.458261°
W  8.311157°		 ← 253.72 m → N 65.458261°
W  8.305664°		 →
↑
253.76 m
↓
↑
253.76 m
↓
N 65.455979°
W  8.311157°		 ← 253.74 m →
64 386 m²		 N 65.455979°
W  8.305664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476921081542969 y=0.257209777832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476921081542969 × 216)
    floor (0.476921081542969 × 65536)
    floor (31255.5)     		tx = 31255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257209777832031 × 216)
    floor (0.257209777832031 × 65536)
    floor (16856.5)     		ty = 16856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31255 / 16856 ti = "16/31255/16856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31255/16856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31255 ÷ 216
    31255 ÷ 65536     		x = 0.476913452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16856 ÷ 216
    16856 ÷ 65536     		y = 0.2572021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476913452148438 × 2 - 1) × π
    -0.046173095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14505706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2572021484375 × 2 - 1) × π
    0.485595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.52554389350867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14505706} λ = -0.14505706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52554389350867))-π/2
    2×atan(4.59764351785669)-π/2
    2×1.35662925174196-π/2
    2.71325850348392-1.57079632675     		φ = 1.14246218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14505706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.311157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14246218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.458261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31255 KachelY 16856 -0.14505706 1.14246218 -8.311157 65.458261
    Oben rechts KachelX + 1 31256 KachelY 16856 -0.14496118 1.14246218 -8.305664 65.458261
    Unten links KachelX 31255 KachelY + 1 16857 -0.14505706 1.14242235 -8.311157 65.455979
    Unten rechts KachelX + 1 31256 KachelY + 1 16857 -0.14496118 1.14242235 -8.305664 65.455979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14246218-1.14242235) × R
    3.9830000000185e-05 × 6371000     		dl = 253.756930001179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14246218-1.14242235) × R
    3.9830000000185e-05 × 6371000     		dr = 253.756930001179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14505706--0.14496118) × cos(1.14246218) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.415356021200072 × 6371000     		do = 253.720840276956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14505706--0.14496118) × cos(1.14242235) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.415392252585926 × 6371000     		du = 253.742972272627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14246218)-sin(1.14242235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415356021200072-0.415392252585926)×R²
    abs(-0.14496118--0.14505706)×3.62313858532914e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.62313858532914e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.62313858532914e-05×40589641000000     		ar = 64386.2295881152m²