Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31254 / 12750
↖ ↑ ↗
← N 73.305780°
W  8.316650°		 ← 175.46 m → N 73.305780°
W  8.311157°		 →
↑
175.46 m
↓
↑
175.46 m
↓
N 73.304203°
W  8.316650°		 ← 175.47 m →
30 787 m²		 N 73.304203°
W  8.311157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476905822753906 y=0.194557189941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476905822753906 × 216)
    floor (0.476905822753906 × 65536)
    floor (31254.5)     		tx = 31254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194557189941406 × 216)
    floor (0.194557189941406 × 65536)
    floor (12750.5)     		ty = 12750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31254 / 12750 ti = "16/31254/12750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31254/12750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31254 ÷ 216
    31254 ÷ 65536     		x = 0.476898193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12750 ÷ 216
    12750 ÷ 65536     		y = 0.194549560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476898193359375 × 2 - 1) × π
    -0.04620361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14515293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194549560546875 × 2 - 1) × π
    0.61090087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.91920171318857
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14515293} λ = -0.14515293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91920171318857))-π/2
    2×atan(6.81551556089343)-π/2
    2×1.42511177833651-π/2
    2.85022355667302-1.57079632675     		φ = 1.27942723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14515293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.316650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27942723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.305780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31254 KachelY 12750 -0.14515293 1.27942723 -8.316650 73.305780
    Oben rechts KachelX + 1 31255 KachelY 12750 -0.14505706 1.27942723 -8.311157 73.305780
    Unten links KachelX 31254 KachelY + 1 12751 -0.14515293 1.27939969 -8.316650 73.304203
    Unten rechts KachelX + 1 31255 KachelY + 1 12751 -0.14505706 1.27939969 -8.311157 73.304203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27942723-1.27939969) × R
    2.75400000000481e-05 × 6371000     		dl = 175.457340000306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27942723-1.27939969) × R
    2.75400000000481e-05 × 6371000     		dr = 175.457340000306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14515293--0.14505706) × cos(1.27942723) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.287263885315571 × 6371000     		do = 175.457267913481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14515293--0.14505706) × cos(1.27939969) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.287290264436425 × 6371000     		du = 175.473379957881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27942723)-sin(1.27939969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287263885315571-0.287290264436425)×R²
    abs(-0.14505706--0.14515293)×2.63791208532926e-05×R²
    9.58700000000257e-05×2.63791208532926e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×2.63791208532926e-05×40589641000000     		ar = 30786.6790016394m²