Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31253 / 39461
↖ ↑ ↗
← S 34.474864°
W  8.322144°		 ← 503.57 m → S 34.474864°
W  8.316650°		 →
↑
503.50 m
↓
↑
503.50 m
↓
S 34.479392°
W  8.322144°		 ← 503.54 m →
253 541 m²		 S 34.479392°
W  8.316650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476890563964844 y=0.602134704589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476890563964844 × 216)
    floor (0.476890563964844 × 65536)
    floor (31253.5)     		tx = 31253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.602134704589844 × 216)
    floor (0.602134704589844 × 65536)
    floor (39461.5)     		ty = 39461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31253 / 39461 ti = "16/31253/39461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31253/39461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31253 ÷ 216
    31253 ÷ 65536     		x = 0.476882934570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39461 ÷ 216
    39461 ÷ 65536     		y = 0.602127075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476882934570312 × 2 - 1) × π
    -0.046234130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14524881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.602127075195312 × 2 - 1) × π
    -0.204254150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.641683338314072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14524881} λ = -0.14524881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.641683338314072))-π/2
    2×atan(0.526405559159177)-π/2
    2×0.484548223304818-π/2
    0.969096446609636-1.57079632675     		φ = -0.60169988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14524881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.322144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60169988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.474864°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31253 KachelY 39461 -0.14524881 -0.60169988 -8.322144 -34.474864
    Oben rechts KachelX + 1 31254 KachelY 39461 -0.14515293 -0.60169988 -8.316650 -34.474864
    Unten links KachelX 31253 KachelY + 1 39462 -0.14524881 -0.60177891 -8.322144 -34.479392
    Unten rechts KachelX + 1 31254 KachelY + 1 39462 -0.14515293 -0.60177891 -8.316650 -34.479392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60169988--0.60177891) × R
    7.90299999999799e-05 × 6371000     		dl = 503.500129999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60169988--0.60177891) × R
    7.90299999999799e-05 × 6371000     		dr = 503.500129999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14524881--0.14515293) × cos(-0.60169988) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.82437459848294 × 6371000     		do = 503.570443557671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14524881--0.14515293) × cos(-0.60177891) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.824329861401586 × 6371000     		du = 503.543115845315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60169988)-sin(-0.60177891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82437459848294-0.824329861401586)×R²
    abs(-0.14515293--0.14524881)×4.47370813534409e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.47370813534409e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.47370813534409e-05×40589641000000     		ar = 253540.904173883m²