Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31251 / 19683
↖ ↑ ↗
← N 58.162010°
W  8.333130°		 ← 322.20 m → N 58.162010°
W  8.327637°		 →
↑
322.25 m
↓
↑
322.25 m
↓
N 58.159112°
W  8.333130°		 ← 322.23 m →
103 832 m²		 N 58.159112°
W  8.327637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476860046386719 y=0.300346374511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476860046386719 × 216)
    floor (0.476860046386719 × 65536)
    floor (31251.5)     		tx = 31251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300346374511719 × 216)
    floor (0.300346374511719 × 65536)
    floor (19683.5)     		ty = 19683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31251 / 19683 ti = "16/31251/19683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31251/19683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31251 ÷ 216
    31251 ÷ 65536     		x = 0.476852416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19683 ÷ 216
    19683 ÷ 65536     		y = 0.300338745117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476852416992188 × 2 - 1) × π
    -0.046295166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14544055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300338745117188 × 2 - 1) × π
    0.399322509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.25450866305687
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14544055} λ = -0.14544055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25450866305687))-π/2
    2×atan(3.50611526710652)-π/2
    2×1.292957453019-π/2
    2.585914906038-1.57079632675     		φ = 1.01511858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14544055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.333130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01511858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.162010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31251 KachelY 19683 -0.14544055 1.01511858 -8.333130 58.162010
    Oben rechts KachelX + 1 31252 KachelY 19683 -0.14534468 1.01511858 -8.327637 58.162010
    Unten links KachelX 31251 KachelY + 1 19684 -0.14544055 1.01506800 -8.333130 58.159112
    Unten rechts KachelX + 1 31252 KachelY + 1 19684 -0.14534468 1.01506800 -8.327637 58.159112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01511858-1.01506800) × R
    5.05799999999113e-05 × 6371000     		dl = 322.245179999435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01511858-1.01506800) × R
    5.05799999999113e-05 × 6371000     		dr = 322.245179999435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14544055--0.14534468) × cos(1.01511858) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.527519196435325 × 6371000     		do = 322.202273622917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14544055--0.14534468) × cos(1.01506800) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.527562165651074 × 6371000     		du = 322.228518694383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01511858)-sin(1.01506800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527519196435325-0.527562165651074)×R²
    abs(-0.14534468--0.14544055)×4.2969215748534e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.2969215748534e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.2969215748534e-05×40589641000000     		ar = 103832.358355606m²