Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31251 / 19677
↖ ↑ ↗
← N 58.179393°
W  8.333130°		 ← 322.04 m → N 58.179393°
W  8.327637°		 →
↑
322.12 m
↓
↑
322.12 m
↓
N 58.176496°
W  8.333130°		 ← 322.07 m →
103 741 m²		 N 58.176496°
W  8.327637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476860046386719 y=0.300254821777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476860046386719 × 216)
    floor (0.476860046386719 × 65536)
    floor (31251.5)     		tx = 31251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300254821777344 × 216)
    floor (0.300254821777344 × 65536)
    floor (19677.5)     		ty = 19677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31251 / 19677 ti = "16/31251/19677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31251/19677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31251 ÷ 216
    31251 ÷ 65536     		x = 0.476852416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19677 ÷ 216
    19677 ÷ 65536     		y = 0.300247192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476852416992188 × 2 - 1) × π
    -0.046295166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14544055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300247192382812 × 2 - 1) × π
    0.399505615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25508390585231
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14544055} λ = -0.14544055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25508390585231))-π/2
    2×atan(3.50813271485942)-π/2
    2×1.29310914175779-π/2
    2.58621828351557-1.57079632675     		φ = 1.01542196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14544055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.333130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01542196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.179393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31251 KachelY 19677 -0.14544055 1.01542196 -8.333130 58.179393
    Oben rechts KachelX + 1 31252 KachelY 19677 -0.14534468 1.01542196 -8.327637 58.179393
    Unten links KachelX 31251 KachelY + 1 19678 -0.14544055 1.01537140 -8.333130 58.176496
    Unten rechts KachelX + 1 31252 KachelY + 1 19678 -0.14534468 1.01537140 -8.327637 58.176496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01542196-1.01537140) × R
    5.05600000000328e-05 × 6371000     		dl = 322.117760000209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01542196-1.01537140) × R
    5.05600000000328e-05 × 6371000     		dr = 322.117760000209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14544055--0.14534468) × cos(1.01542196) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.527261437773992 × 6371000     		do = 322.044837784963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14544055--0.14534468) × cos(1.01537140) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.527304398089325 × 6371000     		du = 322.071077420164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01542196)-sin(1.01537140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527261437773992-0.527304398089325)×R²
    abs(-0.14534468--0.14544055)×4.29603153330183e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.29603153330183e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.29603153330183e-05×40589641000000     		ar = 103740.587914875m²