Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31251 / 12732
↖ ↑ ↗
← N 73.334161°
W  8.333130°		 ← 175.17 m → N 73.334161°
W  8.327637°		 →
↑
175.20 m
↓
↑
175.20 m
↓
N 73.332585°
W  8.333130°		 ← 175.18 m →
30 691 m²		 N 73.332585°
W  8.327637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476860046386719 y=0.194282531738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476860046386719 × 216)
    floor (0.476860046386719 × 65536)
    floor (31251.5)     		tx = 31251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194282531738281 × 216)
    floor (0.194282531738281 × 65536)
    floor (12732.5)     		ty = 12732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31251 / 12732 ti = "16/31251/12732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31251/12732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31251 ÷ 216
    31251 ÷ 65536     		x = 0.476852416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12732 ÷ 216
    12732 ÷ 65536     		y = 0.19427490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476852416992188 × 2 - 1) × π
    -0.046295166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14544055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19427490234375 × 2 - 1) × π
    0.6114501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.92092744157489
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14544055} λ = -0.14544055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.92092744157489))-π/2
    2×atan(6.82728744417933)-π/2
    2×1.42535944329667-π/2
    2.85071888659334-1.57079632675     		φ = 1.27992256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14544055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.333130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27992256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.334161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31251 KachelY 12732 -0.14544055 1.27992256 -8.333130 73.334161
    Oben rechts KachelX + 1 31252 KachelY 12732 -0.14534468 1.27992256 -8.327637 73.334161
    Unten links KachelX 31251 KachelY + 1 12733 -0.14544055 1.27989506 -8.333130 73.332585
    Unten rechts KachelX + 1 31252 KachelY + 1 12733 -0.14534468 1.27989506 -8.327637 73.332585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27992256-1.27989506) × R
    2.74999999998471e-05 × 6371000     		dl = 175.202499999026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27992256-1.27989506) × R
    2.74999999998471e-05 × 6371000     		dr = 175.202499999026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14544055--0.14534468) × cos(1.27992256) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.286789397520393 × 6371000     		do = 175.167456571121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14544055--0.14534468) × cos(1.27989506) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.286815742237438 × 6371000     		du = 175.183547602096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27992256)-sin(1.27989506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.286789397520393-0.286815742237438)×R²
    abs(-0.14534468--0.14544055)×2.63447170445463e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.63447170445463e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.63447170445463e-05×40589641000000     		ar = 30691.1859060756m²