Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3125 / 5245
↖ ↑ ↗
← S 44.995883°
W 42.670898°		 ← 3 455.52 m → S 44.995883°
W 42.626953°		 →
↑
3 454.61 m
↓
↑
3 454.61 m
↓
S 45.026951°
W 42.670898°		 ← 3 453.65 m →
11 934 244 m²		 S 45.026951°
W 42.626953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38153076171875 y=0.64031982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38153076171875 × 213)
    floor (0.38153076171875 × 8192)
    floor (3125.5)     		tx = 3125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.64031982421875 × 213)
    floor (0.64031982421875 × 8192)
    floor (5245.5)     		ty = 5245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3125 / 5245 ti = "13/3125/5245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3125/5245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3125 ÷ 213
    3125 ÷ 8192     		x = 0.3814697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5245 ÷ 213
    5245 ÷ 8192     		y = 0.6402587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3814697265625 × 2 - 1) × π
    -0.237060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74474767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6402587890625 × 2 - 1) × π
    -0.280517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.881271962615112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74474767} λ = -0.74474767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.881271962615112))-π/2
    2×atan(0.41425565871865)-π/2
    2×0.392735012642418-π/2
    0.785470025284835-1.57079632675     		φ = -0.78532630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74474767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.670898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78532630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.995883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3125 KachelY 5245 -0.74474767 -0.78532630 -42.670898 -44.995883
    Oben rechts KachelX + 1 3126 KachelY 5245 -0.74398068 -0.78532630 -42.626953 -44.995883
    Unten links KachelX 3125 KachelY + 1 5246 -0.74474767 -0.78586854 -42.670898 -45.026951
    Unten rechts KachelX + 1 3126 KachelY + 1 5246 -0.74398068 -0.78586854 -42.626953 -45.026951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78532630--0.78586854) × R
    0.000542239999999916 × 6371000     		dl = 3454.61103999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78532630--0.78586854) × R
    0.000542239999999916 × 6371000     		dr = 3454.61103999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74474767--0.74398068) × cos(-0.78532630) × R
    0.000766990000000023 × 0.707157594456286 × 6371000     		do = 3455.52084028329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74474767--0.74398068) × cos(-0.78586854) × R
    0.000766990000000023 × 0.706774096488284 × 6371000     		du = 3453.64688003592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78532630)-sin(-0.78586854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707157594456286-0.706774096488284)×R²
    abs(-0.74398068--0.74474767)×0.000383497968001856×R²
    0.000766990000000023×0.000383497968001856×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383497968001856×40589641000000     		ar = 11934243.8343258m²