Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3125 / 3027
↖ ↑ ↗
← S 64.886265°
E 94.658203°		 ← 4 147.82 m → S 64.886265°
E 94.746094°		 →
↑
4 144.97 m
↓
↑
4 144.97 m
↓
S 64.923542°
E 94.658203°		 ← 4 142.06 m →
17 180 653 m²		 S 64.923542°
E 94.746094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7630615234375 y=0.7391357421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7630615234375 × 212)
    floor (0.7630615234375 × 4096)
    floor (3125.5)     		tx = 3125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7391357421875 × 212)
    floor (0.7391357421875 × 4096)
    floor (3027.5)     		ty = 3027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3125 / 3027 ti = "12/3125/3027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3125/3027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3125 ÷ 212
    3125 ÷ 4096     		x = 0.762939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3027 ÷ 212
    3027 ÷ 4096     		y = 0.739013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762939453125 × 2 - 1) × π
    0.52587890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65209731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739013671875 × 2 - 1) × π
    -0.47802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50176719129712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65209731} λ = 1.65209731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50176719129712))-π/2
    2×atan(0.222736194679993)-π/2
    2×0.219158678050316-π/2
    0.438317356100632-1.57079632675     		φ = -1.13247897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65209731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.658203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13247897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.886265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3125 KachelY 3027 1.65209731 -1.13247897 94.658203 -64.886265
    Oben rechts KachelX + 1 3126 KachelY 3027 1.65363129 -1.13247897 94.746094 -64.886265
    Unten links KachelX 3125 KachelY + 1 3028 1.65209731 -1.13312957 94.658203 -64.923542
    Unten rechts KachelX + 1 3126 KachelY + 1 3028 1.65363129 -1.13312957 94.746094 -64.923542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13247897--1.13312957) × R
    0.000650599999999946 × 6371000     		dl = 4144.97259999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13247897--1.13312957) × R
    0.000650599999999946 × 6371000     		dr = 4144.97259999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65209731-1.65363129) × cos(-1.13247897) × R
    0.00153398000000005 × 0.424416488567418 × 6371000     		do = 4147.81664710022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65209731-1.65363129) × cos(-1.13312957) × R
    0.00153398000000005 × 0.423827301899101 × 6371000     		du = 4142.05853369765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13247897)-sin(-1.13312957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424416488567418-0.423827301899101)×R²
    abs(1.65363129-1.65209731)×0.000589186668316255×R²
    0.00153398000000005×0.000589186668316255×6371000²
    0.00153398000000005×0.000589186668316255×40589641000000     		ar = 17180653.3469324m²