Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31249 / 19867
↖ ↑ ↗
← N 57.624817°
W  8.344116°		 ← 327.05 m → N 57.624817°
W  8.338623°		 →
↑
327.09 m
↓
↑
327.09 m
↓
N 57.621876°
W  8.344116°		 ← 327.08 m →
106 979 m²		 N 57.621876°
W  8.338623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476829528808594 y=0.303153991699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476829528808594 × 216)
    floor (0.476829528808594 × 65536)
    floor (31249.5)     		tx = 31249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303153991699219 × 216)
    floor (0.303153991699219 × 65536)
    floor (19867.5)     		ty = 19867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31249 / 19867 ti = "16/31249/19867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31249/19867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31249 ÷ 216
    31249 ÷ 65536     		x = 0.476821899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19867 ÷ 216
    19867 ÷ 65536     		y = 0.303146362304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476821899414062 × 2 - 1) × π
    -0.046356201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14563230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303146362304688 × 2 - 1) × π
    0.393707275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23686788399669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14563230} λ = -0.14563230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23686788399669))-π/2
    2×atan(3.44480701489013)-π/2
    2×1.28826955604826-π/2
    2.57653911209651-1.57079632675     		φ = 1.00574279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14563230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.344116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00574279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.624817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31249 KachelY 19867 -0.14563230 1.00574279 -8.344116 57.624817
    Oben rechts KachelX + 1 31250 KachelY 19867 -0.14553643 1.00574279 -8.338623 57.624817
    Unten links KachelX 31249 KachelY + 1 19868 -0.14563230 1.00569145 -8.344116 57.621876
    Unten rechts KachelX + 1 31250 KachelY + 1 19868 -0.14553643 1.00569145 -8.338623 57.621876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00574279-1.00569145) × R
    5.13399999999553e-05 × 6371000     		dl = 327.087139999715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00574279-1.00569145) × R
    5.13399999999553e-05 × 6371000     		dr = 327.087139999715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14563230--0.14553643) × cos(1.00574279) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.535461031810533 × 6371000     		do = 327.053049541448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14563230--0.14553643) × cos(1.00569145) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.535504390811882 × 6371000     		du = 327.079532689191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00574279)-sin(1.00569145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.535461031810533-0.535504390811882)×R²
    abs(-0.14553643--0.14563230)×4.3359001348886e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.3359001348886e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.3359001348886e-05×40589641000000     		ar = 106979.177774515m²