Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31249 / 14353
↖ ↑ ↗
← N 70.581591°
W  8.344116°		 ← 203.07 m → N 70.581591°
W  8.338623°		 →
↑
203.11 m
↓
↑
203.11 m
↓
N 70.579765°
W  8.344116°		 ← 203.08 m →
41 246 m²		 N 70.579765°
W  8.338623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476829528808594 y=0.219017028808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476829528808594 × 216)
    floor (0.476829528808594 × 65536)
    floor (31249.5)     		tx = 31249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219017028808594 × 216)
    floor (0.219017028808594 × 65536)
    floor (14353.5)     		ty = 14353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31249 / 14353 ti = "16/31249/14353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31249/14353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31249 ÷ 216
    31249 ÷ 65536     		x = 0.476821899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14353 ÷ 216
    14353 ÷ 65536     		y = 0.219009399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476821899414062 × 2 - 1) × π
    -0.046356201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14563230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219009399414062 × 2 - 1) × π
    0.561981201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76551601300667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14563230} λ = -0.14563230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76551601300667))-π/2
    2×atan(5.844587463252)-π/2
    2×1.40133874335287-π/2
    2.80267748670575-1.57079632675     		φ = 1.23188116
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14563230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.344116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23188116 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.581591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31249 KachelY 14353 -0.14563230 1.23188116 -8.344116 70.581591
    Oben rechts KachelX + 1 31250 KachelY 14353 -0.14553643 1.23188116 -8.338623 70.581591
    Unten links KachelX 31249 KachelY + 1 14354 -0.14563230 1.23184928 -8.344116 70.579765
    Unten rechts KachelX + 1 31250 KachelY + 1 14354 -0.14553643 1.23184928 -8.338623 70.579765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23188116-1.23184928) × R
    3.18799999998731e-05 × 6371000     		dl = 203.107479999192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23188116-1.23184928) × R
    3.18799999998731e-05 × 6371000     		dr = 203.107479999192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14563230--0.14553643) × cos(1.23188116) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.332464164541681 × 6371000     		do = 203.065045665322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14563230--0.14553643) × cos(1.23184928) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.332494230907257 × 6371000     		du = 203.083409833704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23188116)-sin(1.23184928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332464164541681-0.332494230907257)×R²
    abs(-0.14553643--0.14563230)×3.00663655753985e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.00663655753985e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.00663655753985e-05×40589641000000     		ar = 41245.8946542137m²