Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31248 / 14354
↖ ↑ ↗
← N 70.579765°
W  8.349609°		 ← 203.08 m → N 70.579765°
W  8.344116°		 →
↑
203.11 m
↓
↑
203.11 m
↓
N 70.577938°
W  8.349609°		 ← 203.10 m →
41 250 m²		 N 70.577938°
W  8.344116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476814270019531 y=0.219032287597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476814270019531 × 216)
    floor (0.476814270019531 × 65536)
    floor (31248.5)     		tx = 31248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219032287597656 × 216)
    floor (0.219032287597656 × 65536)
    floor (14354.5)     		ty = 14354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31248 / 14354 ti = "16/31248/14354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31248/14354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31248 ÷ 216
    31248 ÷ 65536     		x = 0.476806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14354 ÷ 216
    14354 ÷ 65536     		y = 0.219024658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476806640625 × 2 - 1) × π
    -0.04638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14572817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219024658203125 × 2 - 1) × π
    0.56195068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.76542013920743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14572817} λ = -0.14572817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76542013920743))-π/2
    2×atan(5.84402714730714)-π/2
    2×1.40132280533104-π/2
    2.80264561066209-1.57079632675     		φ = 1.23184928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14572817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.349609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23184928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.579765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31248 KachelY 14354 -0.14572817 1.23184928 -8.349609 70.579765
    Oben rechts KachelX + 1 31249 KachelY 14354 -0.14563230 1.23184928 -8.344116 70.579765
    Unten links KachelX 31248 KachelY + 1 14355 -0.14572817 1.23181740 -8.349609 70.577938
    Unten rechts KachelX + 1 31249 KachelY + 1 14355 -0.14563230 1.23181740 -8.344116 70.577938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23184928-1.23181740) × R
    3.18800000000952e-05 × 6371000     		dl = 203.107480000606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23184928-1.23181740) × R
    3.18800000000952e-05 × 6371000     		dr = 203.107480000606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14572817--0.14563230) × cos(1.23184928) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.332494230907257 × 6371000     		do = 203.083409833704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14572817--0.14563230) × cos(1.23181740) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.332524296934907 × 6371000     		du = 203.101773795685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23184928)-sin(1.23181740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332494230907257-0.332524296934907)×R²
    abs(-0.14563230--0.14572817)×3.00660276502662e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.00660276502662e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.00660276502662e-05×40589641000000     		ar = 41249.6245337802m²