Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31245 / 20077
↖ ↑ ↗
← N 57.001859°
W  8.366089°		 ← 332.68 m → N 57.001859°
W  8.360596°		 →
↑
332.69 m
↓
↑
332.69 m
↓
N 56.998867°
W  8.366089°		 ← 332.70 m →
110 684 m²		 N 56.998867°
W  8.360596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476768493652344 y=0.306358337402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476768493652344 × 216)
    floor (0.476768493652344 × 65536)
    floor (31245.5)     		tx = 31245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306358337402344 × 216)
    floor (0.306358337402344 × 65536)
    floor (20077.5)     		ty = 20077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31245 / 20077 ti = "16/31245/20077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31245/20077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31245 ÷ 216
    31245 ÷ 65536     		x = 0.476760864257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20077 ÷ 216
    20077 ÷ 65536     		y = 0.306350708007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476760864257812 × 2 - 1) × π
    -0.046478271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14601580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306350708007812 × 2 - 1) × π
    0.387298583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.21673438615627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14601580} λ = -0.14601580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21673438615627))-π/2
    2×atan(3.3761445277041)-π/2
    2×1.2828332214143-π/2
    2.5656664428286-1.57079632675     		φ = 0.99487012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14601580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.366089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99487012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.001859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31245 KachelY 20077 -0.14601580 0.99487012 -8.366089 57.001859
    Oben rechts KachelX + 1 31246 KachelY 20077 -0.14591992 0.99487012 -8.360596 57.001859
    Unten links KachelX 31245 KachelY + 1 20078 -0.14601580 0.99481790 -8.366089 56.998867
    Unten rechts KachelX + 1 31246 KachelY + 1 20078 -0.14591992 0.99481790 -8.360596 56.998867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99487012-0.99481790) × R
    5.22199999999362e-05 × 6371000     		dl = 332.693619999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99487012-0.99481790) × R
    5.22199999999362e-05 × 6371000     		dr = 332.693619999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14601580--0.14591992) × cos(0.99487012) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.544611822918463 × 6371000     		do = 332.676938055216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14601580--0.14591992) × cos(0.99481790) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.544655618475728 × 6371000     		du = 332.703690636188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99487012)-sin(0.99481790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.544611822918463-0.544655618475728)×R²
    abs(-0.14591992--0.14601580)×4.37955572650806e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.37955572650806e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.37955572650806e-05×40589641000000     		ar = 110683.945043531m²