Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31245 / 17463
↖ ↑ ↗
← N 64.036149°
W  8.366089°		 ← 267.43 m → N 64.036149°
W  8.360596°		 →
↑
267.45 m
↓
↑
267.45 m
↓
N 64.033744°
W  8.366089°		 ← 267.46 m →
71 529 m²		 N 64.033744°
W  8.360596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476768493652344 y=0.266471862792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476768493652344 × 216)
    floor (0.476768493652344 × 65536)
    floor (31245.5)     		tx = 31245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.266471862792969 × 216)
    floor (0.266471862792969 × 65536)
    floor (17463.5)     		ty = 17463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31245 / 17463 ti = "16/31245/17463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31245/17463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31245 ÷ 216
    31245 ÷ 65536     		x = 0.476760864257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17463 ÷ 216
    17463 ÷ 65536     		y = 0.266464233398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476760864257812 × 2 - 1) × π
    -0.046478271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14601580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.266464233398438 × 2 - 1) × π
    0.467071533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.46734849736992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14601580} λ = -0.14601580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46734849736992))-π/2
    2×atan(4.33771840771908)-π/2
    2×1.34421898316575-π/2
    2.68843796633151-1.57079632675     		φ = 1.11764164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14601580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.366089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11764164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.036149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31245 KachelY 17463 -0.14601580 1.11764164 -8.366089 64.036149
    Oben rechts KachelX + 1 31246 KachelY 17463 -0.14591992 1.11764164 -8.360596 64.036149
    Unten links KachelX 31245 KachelY + 1 17464 -0.14601580 1.11759966 -8.366089 64.033744
    Unten rechts KachelX + 1 31246 KachelY + 1 17464 -0.14591992 1.11759966 -8.360596 64.033744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11764164-1.11759966) × R
    4.1979999999997e-05 × 6371000     		dl = 267.454579999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11764164-1.11759966) × R
    4.1979999999997e-05 × 6371000     		dr = 267.454579999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14601580--0.14591992) × cos(1.11764164) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.437803993585538 × 6371000     		do = 267.433217431616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14601580--0.14591992) × cos(1.11759966) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.437841736176989 × 6371000     		du = 267.456272549463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11764164)-sin(1.11759966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437803993585538-0.437841736176989)×R²
    abs(-0.14591992--0.14601580)×3.774259145084e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.774259145084e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.774259145084e-05×40589641000000     		ar = 71529.3219552063m²