Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31245 / 17462
↖ ↑ ↗
← N 64.038554°
W  8.366089°		 ← 267.41 m → N 64.038554°
W  8.360596°		 →
↑
267.39 m
↓
↑
267.39 m
↓
N 64.036149°
W  8.366089°		 ← 267.43 m →
71 506 m²		 N 64.036149°
W  8.360596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476768493652344 y=0.266456604003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476768493652344 × 216)
    floor (0.476768493652344 × 65536)
    floor (31245.5)     		tx = 31245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.266456604003906 × 216)
    floor (0.266456604003906 × 65536)
    floor (17462.5)     		ty = 17462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31245 / 17462 ti = "16/31245/17462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31245/17462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31245 ÷ 216
    31245 ÷ 65536     		x = 0.476760864257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17462 ÷ 216
    17462 ÷ 65536     		y = 0.266448974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476760864257812 × 2 - 1) × π
    -0.046478271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.14601580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.266448974609375 × 2 - 1) × π
    0.46710205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.46744437116916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14601580} λ = -0.14601580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46744437116916))-π/2
    2×atan(4.33813430119919)-π/2
    2×1.34423996922738-π/2
    2.68847993845476-1.57079632675     		φ = 1.11768361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14601580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.366089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11768361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.038554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31245 KachelY 17462 -0.14601580 1.11768361 -8.366089 64.038554
    Oben rechts KachelX + 1 31246 KachelY 17462 -0.14591992 1.11768361 -8.360596 64.038554
    Unten links KachelX 31245 KachelY + 1 17463 -0.14601580 1.11764164 -8.366089 64.036149
    Unten rechts KachelX + 1 31246 KachelY + 1 17463 -0.14591992 1.11764164 -8.360596 64.036149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11768361-1.11764164) × R
    4.19700000000578e-05 × 6371000     		dl = 267.390870000368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11768361-1.11764164) × R
    4.19700000000578e-05 × 6371000     		dr = 267.390870000368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14601580--0.14591992) × cos(1.11768361) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.437766259213425 × 6371000     		do = 267.410167334564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14601580--0.14591992) × cos(1.11764164) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.437803993585538 × 6371000     		du = 267.433217431616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11768361)-sin(1.11764164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437766259213425-0.437803993585538)×R²
    abs(-0.14591992--0.14601580)×3.77343721136292e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.77343721136292e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.77343721136292e-05×40589641000000     		ar = 71506.1189938844m²