Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31244 / 14860
↖ ↑ ↗
← N 69.634158°
W  8.371582°		 ← 212.56 m → N 69.634158°
W  8.366089°		 →
↑
212.54 m
↓
↑
212.54 m
↓
N 69.632247°
W  8.371582°		 ← 212.58 m →
45 179 m²		 N 69.632247°
W  8.366089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476753234863281 y=0.226753234863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476753234863281 × 216)
    floor (0.476753234863281 × 65536)
    floor (31244.5)     		tx = 31244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226753234863281 × 216)
    floor (0.226753234863281 × 65536)
    floor (14860.5)     		ty = 14860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31244 / 14860 ti = "16/31244/14860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31244/14860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31244 ÷ 216
    31244 ÷ 65536     		x = 0.47674560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14860 ÷ 216
    14860 ÷ 65536     		y = 0.22674560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47674560546875 × 2 - 1) × π
    -0.0465087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14611167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22674560546875 × 2 - 1) × π
    0.5465087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.71690799679193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14611167} λ = -0.14611167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71690799679193))-π/2
    2×atan(5.5672877522532)-π/2
    2×1.39307083063404-π/2
    2.78614166126808-1.57079632675     		φ = 1.21534533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14611167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.371582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21534533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.634158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31244 KachelY 14860 -0.14611167 1.21534533 -8.371582 69.634158
    Oben rechts KachelX + 1 31245 KachelY 14860 -0.14601580 1.21534533 -8.366089 69.634158
    Unten links KachelX 31244 KachelY + 1 14861 -0.14611167 1.21531197 -8.371582 69.632247
    Unten rechts KachelX + 1 31245 KachelY + 1 14861 -0.14601580 1.21531197 -8.366089 69.632247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21534533-1.21531197) × R
    3.33599999999823e-05 × 6371000     		dl = 212.536559999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21534533-1.21531197) × R
    3.33599999999823e-05 × 6371000     		dr = 212.536559999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14611167--0.14601580) × cos(1.21534533) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348013205433042 × 6371000     		do = 212.562209676995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14611167--0.14601580) × cos(1.21531197) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.348044479893487 × 6371000     		du = 212.581311734948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21534533)-sin(1.21531197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348013205433042-0.348044479893487)×R²
    abs(-0.14601580--0.14611167)×3.1274460445041e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.1274460445041e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.1274460445041e-05×40589641000000     		ar = 45179.270777756m²