Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31243 / 19897
↖ ↑ ↗
← N 57.536468°
W  8.377075°		 ← 327.85 m → N 57.536468°
W  8.371582°		 →
↑
327.85 m
↓
↑
327.85 m
↓
N 57.533520°
W  8.377075°		 ← 327.87 m →
107 490 m²		 N 57.533520°
W  8.371582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476737976074219 y=0.303611755371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476737976074219 × 216)
    floor (0.476737976074219 × 65536)
    floor (31243.5)     		tx = 31243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303611755371094 × 216)
    floor (0.303611755371094 × 65536)
    floor (19897.5)     		ty = 19897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31243 / 19897 ti = "16/31243/19897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31243/19897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31243 ÷ 216
    31243 ÷ 65536     		x = 0.476730346679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19897 ÷ 216
    19897 ÷ 65536     		y = 0.303604125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476730346679688 × 2 - 1) × π
    -0.046539306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14620754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303604125976562 × 2 - 1) × π
    0.392791748046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.23399167001949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14620754} λ = -0.14620754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23399167001949))-π/2
    2×atan(3.43491324792116)-π/2
    2×1.28749857006011-π/2
    2.57499714012021-1.57079632675     		φ = 1.00420081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14620754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.377075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00420081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.536468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31243 KachelY 19897 -0.14620754 1.00420081 -8.377075 57.536468
    Oben rechts KachelX + 1 31244 KachelY 19897 -0.14611167 1.00420081 -8.371582 57.536468
    Unten links KachelX 31243 KachelY + 1 19898 -0.14620754 1.00414935 -8.377075 57.533520
    Unten rechts KachelX + 1 31244 KachelY + 1 19898 -0.14611167 1.00414935 -8.371582 57.533520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00420081-1.00414935) × R
    5.14599999998921e-05 × 6371000     		dl = 327.851659999313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00420081-1.00414935) × R
    5.14599999998921e-05 × 6371000     		dr = 327.851659999313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14620754--0.14611167) × cos(1.00420081) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.536762689239323 × 6371000     		do = 327.848085979682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14620754--0.14611167) × cos(1.00414935) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.536806107042198 × 6371000     		du = 327.874605042678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00420081)-sin(1.00414935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.536762689239323-0.536806107042198)×R²
    abs(-0.14611167--0.14620754)×4.34178028742016e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.34178028742016e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.34178028742016e-05×40589641000000     		ar = 107489.886399175m²