Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31243 / 17471
↖ ↑ ↗
← N 64.016903°
W  8.377075°		 ← 267.59 m → N 64.016903°
W  8.371582°		 →
↑
267.58 m
↓
↑
267.58 m
↓
N 64.014496°
W  8.377075°		 ← 267.61 m →
71 605 m²		 N 64.014496°
W  8.371582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476737976074219 y=0.266593933105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476737976074219 × 216)
    floor (0.476737976074219 × 65536)
    floor (31243.5)     		tx = 31243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.266593933105469 × 216)
    floor (0.266593933105469 × 65536)
    floor (17471.5)     		ty = 17471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31243 / 17471 ti = "16/31243/17471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31243/17471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31243 ÷ 216
    31243 ÷ 65536     		x = 0.476730346679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17471 ÷ 216
    17471 ÷ 65536     		y = 0.266586303710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476730346679688 × 2 - 1) × π
    -0.046539306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.14620754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.266586303710938 × 2 - 1) × π
    0.466827392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.466581506976
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14620754} λ = -0.14620754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.466581506976))-π/2
    2×atan(4.33439269492674)-π/2
    2×1.34405102953806-π/2
    2.68810205907612-1.57079632675     		φ = 1.11730573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14620754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.377075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11730573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.016903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31243 KachelY 17471 -0.14620754 1.11730573 -8.377075 64.016903
    Oben rechts KachelX + 1 31244 KachelY 17471 -0.14611167 1.11730573 -8.371582 64.016903
    Unten links KachelX 31243 KachelY + 1 17472 -0.14620754 1.11726373 -8.377075 64.014496
    Unten rechts KachelX + 1 31244 KachelY + 1 17472 -0.14611167 1.11726373 -8.371582 64.014496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11730573-1.11726373) × R
    4.20000000000975e-05 × 6371000     		dl = 267.582000000621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11730573-1.11726373) × R
    4.20000000000975e-05 × 6371000     		dr = 267.582000000621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14620754--0.14611167) × cos(1.11730573) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.438105975632767 × 6371000     		do = 267.589771880406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14620754--0.14611167) × cos(1.11726373) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.438143730026227 × 6371000     		du = 267.612831802196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11730573)-sin(1.11726373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438105975632767-0.438143730026227)×R²
    abs(-0.14611167--0.14620754)×3.77543934604319e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.77543934604319e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.77543934604319e-05×40589641000000     		ar = 71605.2915603792m²