Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31242 / 19898
↖ ↑ ↗
← N 57.533520°
W  8.382568°		 ← 327.91 m → N 57.533520°
W  8.377075°		 →
↑
327.92 m
↓
↑
327.92 m
↓
N 57.530571°
W  8.382568°		 ← 327.94 m →
107 531 m²		 N 57.530571°
W  8.377075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476722717285156 y=0.303627014160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476722717285156 × 216)
    floor (0.476722717285156 × 65536)
    floor (31242.5)     		tx = 31242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303627014160156 × 216)
    floor (0.303627014160156 × 65536)
    floor (19898.5)     		ty = 19898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31242 / 19898 ti = "16/31242/19898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31242/19898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31242 ÷ 216
    31242 ÷ 65536     		x = 0.476715087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19898 ÷ 216
    19898 ÷ 65536     		y = 0.303619384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476715087890625 × 2 - 1) × π
    -0.04656982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14630342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303619384765625 × 2 - 1) × π
    0.39276123046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.23389579622025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14630342} λ = -0.14630342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23389579622025))-π/2
    2×atan(3.43458394552401)-π/2
    2×1.28747283828037-π/2
    2.57494567656073-1.57079632675     		φ = 1.00414935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14630342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.382568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00414935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.533520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31242 KachelY 19898 -0.14630342 1.00414935 -8.382568 57.533520
    Oben rechts KachelX + 1 31243 KachelY 19898 -0.14620754 1.00414935 -8.377075 57.533520
    Unten links KachelX 31242 KachelY + 1 19899 -0.14630342 1.00409788 -8.382568 57.530571
    Unten rechts KachelX + 1 31243 KachelY + 1 19899 -0.14620754 1.00409788 -8.377075 57.530571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00414935-1.00409788) × R
    5.14700000000534e-05 × 6371000     		dl = 327.91537000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00414935-1.00409788) × R
    5.14700000000534e-05 × 6371000     		dr = 327.91537000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14630342--0.14620754) × cos(1.00414935) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.536806107042198 × 6371000     		do = 327.90880495974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14630342--0.14620754) × cos(1.00409788) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.536849531860319 × 6371000     		du = 327.935331074158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00414935)-sin(1.00409788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.536806107042198-0.536849531860319)×R²
    abs(-0.14620754--0.14630342)×4.34248181212515e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.34248181212515e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.34248181212515e-05×40589641000000     		ar = 107530.686288642m²