Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31242 / 19897
↖ ↑ ↗
← N 57.536468°
W  8.382568°		 ← 327.88 m → N 57.536468°
W  8.377075°		 →
↑
327.85 m
↓
↑
327.85 m
↓
N 57.533520°
W  8.382568°		 ← 327.91 m →
107 501 m²		 N 57.533520°
W  8.377075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476722717285156 y=0.303611755371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476722717285156 × 216)
    floor (0.476722717285156 × 65536)
    floor (31242.5)     		tx = 31242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303611755371094 × 216)
    floor (0.303611755371094 × 65536)
    floor (19897.5)     		ty = 19897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31242 / 19897 ti = "16/31242/19897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31242/19897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31242 ÷ 216
    31242 ÷ 65536     		x = 0.476715087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19897 ÷ 216
    19897 ÷ 65536     		y = 0.303604125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476715087890625 × 2 - 1) × π
    -0.04656982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14630342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303604125976562 × 2 - 1) × π
    0.392791748046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.23399167001949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14630342} λ = -0.14630342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23399167001949))-π/2
    2×atan(3.43491324792116)-π/2
    2×1.28749857006011-π/2
    2.57499714012021-1.57079632675     		φ = 1.00420081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14630342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.382568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00420081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.536468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31242 KachelY 19897 -0.14630342 1.00420081 -8.382568 57.536468
    Oben rechts KachelX + 1 31243 KachelY 19897 -0.14620754 1.00420081 -8.377075 57.536468
    Unten links KachelX 31242 KachelY + 1 19898 -0.14630342 1.00414935 -8.382568 57.533520
    Unten rechts KachelX + 1 31243 KachelY + 1 19898 -0.14620754 1.00414935 -8.377075 57.533520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00420081-1.00414935) × R
    5.14599999998921e-05 × 6371000     		dl = 327.851659999313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00420081-1.00414935) × R
    5.14599999998921e-05 × 6371000     		dr = 327.851659999313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14630342--0.14620754) × cos(1.00420081) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.536762689239323 × 6371000     		do = 327.882283130596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14630342--0.14620754) × cos(1.00414935) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.536806107042198 × 6371000     		du = 327.90880495974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00420081)-sin(1.00414935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.536762689239323-0.536806107042198)×R²
    abs(-0.14620754--0.14630342)×4.34178028742016e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.34178028742016e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.34178028742016e-05×40589641000000     		ar = 107501.098445315m²