Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31241 / 17129
↖ ↑ ↗
← N 64.827918°
W  8.388061°		 ← 259.79 m → N 64.827918°
W  8.382568°		 →
↑
259.81 m
↓
↑
259.81 m
↓
N 64.825581°
W  8.388061°		 ← 259.81 m →
67 499 m²		 N 64.825581°
W  8.382568°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476707458496094 y=0.261375427246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476707458496094 × 216)
    floor (0.476707458496094 × 65536)
    floor (31241.5)     		tx = 31241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261375427246094 × 216)
    floor (0.261375427246094 × 65536)
    floor (17129.5)     		ty = 17129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31241 / 17129 ti = "16/31241/17129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31241/17129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31241 ÷ 216
    31241 ÷ 65536     		x = 0.476699829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17129 ÷ 216
    17129 ÷ 65536     		y = 0.261367797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476699829101562 × 2 - 1) × π
    -0.046600341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14639929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261367797851562 × 2 - 1) × π
    0.477264404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.49937034631612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14639929} λ = -0.14639929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49937034631612))-π/2
    2×atan(4.47886804653212)-π/2
    2×1.35112846623752-π/2
    2.70225693247505-1.57079632675     		φ = 1.13146061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14639929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.388061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13146061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.827918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31241 KachelY 17129 -0.14639929 1.13146061 -8.388061 64.827918
    Oben rechts KachelX + 1 31242 KachelY 17129 -0.14630342 1.13146061 -8.382568 64.827918
    Unten links KachelX 31241 KachelY + 1 17130 -0.14639929 1.13141983 -8.388061 64.825581
    Unten rechts KachelX + 1 31242 KachelY + 1 17130 -0.14630342 1.13141983 -8.382568 64.825581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13146061-1.13141983) × R
    4.07799999999625e-05 × 6371000     		dl = 259.809379999761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13146061-1.13141983) × R
    4.07799999999625e-05 × 6371000     		dr = 259.809379999761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14639929--0.14630342) × cos(1.13146061) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425338359797921 × 6371000     		do = 259.791468276424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14639929--0.14630342) × cos(1.13141983) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425375266747399 × 6371000     		du = 259.814010589793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13146061)-sin(1.13141983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425338359797921-0.425375266747399)×R²
    abs(-0.14630342--0.14639929)×3.69069494777774e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69069494777774e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69069494777774e-05×40589641000000     		ar = 67499.1886638716m²