Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31239 / 38399
↖ ↑ ↗
← S 29.530450°
W  8.399048°		 ← 531.44 m → S 29.530450°
W  8.393555°		 →
↑
531.47 m
↓
↑
531.47 m
↓
S 29.535229°
W  8.399048°		 ← 531.42 m →
282 439 m²		 S 29.535229°
W  8.393555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476676940917969 y=0.585929870605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476676940917969 × 216)
    floor (0.476676940917969 × 65536)
    floor (31239.5)     		tx = 31239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585929870605469 × 216)
    floor (0.585929870605469 × 65536)
    floor (38399.5)     		ty = 38399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31239 / 38399 ti = "16/31239/38399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31239/38399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31239 ÷ 216
    31239 ÷ 65536     		x = 0.476669311523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38399 ÷ 216
    38399 ÷ 65536     		y = 0.585922241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.476669311523438 × 2 - 1) × π
    -0.046661376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.14659104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585922241210938 × 2 - 1) × π
    -0.171844482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.539865363521072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14659104} λ = -0.14659104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.539865363521072))-π/2
    2×atan(0.582826716828761)-π/2
    2×0.527696371418345-π/2
    1.05539274283669-1.57079632675     		φ = -0.51540358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14659104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.399048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51540358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.530450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31239 KachelY 38399 -0.14659104 -0.51540358 -8.399048 -29.530450
    Oben rechts KachelX + 1 31240 KachelY 38399 -0.14649517 -0.51540358 -8.393555 -29.530450
    Unten links KachelX 31239 KachelY + 1 38400 -0.14659104 -0.51548700 -8.399048 -29.535229
    Unten rechts KachelX + 1 31240 KachelY + 1 38400 -0.14649517 -0.51548700 -8.393555 -29.535229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51540358--0.51548700) × R
    8.34200000000562e-05 × 6371000     		dl = 531.468820000358m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51540358--0.51548700) × R
    8.34200000000562e-05 × 6371000     		dr = 531.468820000358m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14659104--0.14649517) × cos(-0.51540358) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.870093874213835 × 6371000     		do = 531.442697121717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14659104--0.14649517) × cos(-0.51548700) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.870052754632841 × 6371000     		du = 531.417581784538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51540358)-sin(-0.51548700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870093874213835-0.870052754632841)×R²
    abs(-0.14649517--0.14659104)×4.11195809936205e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.11195809936205e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.11195809936205e-05×40589641000000     		ar = 282438.549291487m²